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1、八年级上册第九讲：等边三角形一.预备知识检测：1.在ZXABC中，①若AB=BC=CA,则AABC为等边三角形；②若ZA=ZB=ZC,贝IJAABC为等边三角形；③有两个角都是60。的三角形是等边三角形；④一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.上述结论屮正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1,一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中Za+Zp的度数是（）A.180°B.220°C.240°D.300°3.如图2,已知D、E、F分别是等边AABC的边AB、BC、AC±的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB,则下列结
2、论不成立的是（）A.ADEF是等边三角形B.AADF^ABED^ACFEC.DE=ABD.Saabc=^Sadef4.如图3,在等边AABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD二CE,则ZBCD+ZCBE=5.已知：如图4,在厶ABC屮，AB=BC,ZABC=120°,BE丄AC于点D,且DE=DB,试判断ACEB的形状，并说明理由.二、拓展知识训练：【例1】如图，等边AABC屮，AO是ZBAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角形CDE,连接BE.⑴求证：AACD^ABCE；（2）延长BE至Q,P为BQ±一点，连接
3、CP、CQ,使CP=CQ=5,若BCK时，求PQ的长.【例2】如图，AABC是等边三角形，P为BC上一动点(不与B、C重合)，以AP为边作等边ZAPE,连接CE・(1)求证：AB〃CE；(2)是否存在点P,使得AE丄CE?若存在，指出点P的位置并证明你的结论；若不BE相交于点P,求证：BE=AD.(2)如图2,在厶BCD中，ZBCDV120。，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联接AD、BE不口CF交于点P,下列结论中正确的是.(只填序号即可)®AD=BE=CF；②ZBEOZADC；③
4、ZDPE=ZEPC=ZCPA=60°；(3)如图2,在(2)的条件下，求证：PB+PC+PD二BE.【例4】已知，RtAABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°.分别以AB、AC为边，向形外作等边ZSABD和等边(1)如图1,连接线段BE、CD.求证：BE二CD；(2)如图2,连接DE交AB于点F.®EFFD(填“〉”、“<”或“=")；②请证明你的结论.A图2D【例5】如图，'ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是角平分线，以AC为边向外作等边△ACE,BE分别与AD、AC交于点F、G,连结CF.(1)求证：ZFBD=ZFCD；(2)求ZB朋
5、的度数;⑶若AF=3,DF=}t求EF的值.三、自主探究导航:1.如图，AABD与ZkAEC都是等边三角形，AB共AC.下列结论中，正确的是.①BE二CD；②ZBOD=60°；③ZBDO=ZCEO.2.三个等边三角形的位置如图所示，若Z3=50°,则Zl+Z2=。.3.如图，在等边ZSABC中，AD=BE=CF,D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别A.6组第I题图0交于P、M、H,如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有()4.如图，已知AABC为等边三角形，P为BC±一点，AAPQ为等边三角形.(1)求证：AB〃CQ
6、；(2)当CQ丄AQ时，求证：AP丄BC.1.如图，ZXABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,AE=BD,连结EC、ED,求证：CE=DE.2.如图，P是等边ZABC边AB±任一点，AB=2,PE丄BC于E,EF丄AC于F,FM丄AB于M,设BP=x.(1)用含有兀的代数式表示AM；(2)当兀等于多少时，点P和点M重合?1.如图，在平面直角坐标系屮，AAOP为等边三角形，A(0,1),点B为y轴上一动点，以BP为边作等边APBC.(1)求证：OB二AC；(2)求ZCAP的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？EO第7题图2.
7、在等边AABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N.D为AABC外一点，且ZMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC±移动吋,图2第8题图BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.3.如图，C为线段AE上一动点(不与点A,E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下四个结论：①AD二BE；②PQ〃AE；③EQ二DP；④ZAOB=60°；其屮正确的是()A.①②④B.①②③④C.①
8、②③D.②③④10.探究题：如图：(1)AABC为等边三角形，动点D在边CA上,B点同时出发，以相同的速度FtlC向A和由
