解析几何讲义

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1、第一章向量与坐标解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，由定性的研究推进到可以计算的定量层面.为了把代数的方法引入到几何中来，首先必须把空间的几何结构代数化，这是解析几何的基础.本章的主要目的是系统地介绍向量代数的基本知识，这实质上就是一个使空间结构代数化的过程.向量虽然不是数，但是可以像数那样去运算，因此在几何中引进了向量，就把代数运算带到几何中来了，从而使我们可以利用向量代数的方法来研究几何问题。本章的知识结构为：向量的概念→→标架与坐标→§1.1向量的概念一、有关概念1.向

2、量既有大小又有方向的量叫做向量，或称为矢量，简称矢.而只有大小的量叫做数量，或称为标量.2.向量的表示用有向线段来表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量的始点与终点，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度代表向量的大小.用,a,,…或黑体字a,x,…来记向量.3.向量的模向量的大小称为向量的模，亦称长度.用

3、

4、，

5、a

6、，

7、

8、，

9、a

10、，

11、x

12、,…来表示.二、特殊向量1.零向量0：模为零，方向不定.2.单位向量a0：模为1，与向量a方向相同.三、向量间的关系1.平行向量：a,b所在直线平行,记作a/

13、/b.2.相等向量：模相等，方向相同.3.自由向量：始点任意，只由模与方向确定的向量.4.相反向量：模相等，方向相反.5.共线向量：平行于同一直线的一组向量.6.共面向量：平行于同一平面的一组向量.7.固定向量:在解析几何的大多数问题里，只有向量的长度和方向发挥主要作用，而与它的起点无关，即为自由向量.在个别情形下，有时我们只把有同一起点且相等的向量才看作相等向量，亦即两向量完全重合时才看作相等，这样规定的向量叫做固定向量.需要注意，在应用科学中起点位置不同，所产生的作用也会不同，如图1-1，同样的力由于

14、f作用点M1和M2的不同，效果也会不同.例1.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL=NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？证明：如图1-2，连结AC,则在DBAC中，KLAC.与方向相同；在DDAC中，NMAC.与方向相同，从而KL＝NM且与方向相同，所以＝.由于上述证明不受ABCD是平面四边形或空间四边形的影响，即证明过程中并未用到ABCD必须是平面四边形的限制，故等式对空间情形也成立.例2.回答下列问题：(1)若向量a//b，b

15、//c,则是否有a//c？(2)若向量a,b,c共面，c,,也共面，则a,c,是否也共面？(3)若向量a,b,c中a//b，则a,b,c是否共面？(4)若向量，共线，在什么条件下，也共线？解：(1)由a//b可知，a,b所在直线相互平行，同理b,c所在直线相互平行，从而a,c所在直线相互平行，从而有a//c；(2)a,c,不一定共面.只有当a,b,c,,五向量全部在同一平面上时a,c,共面，否则a,c,不共面；(3)a//b,a,c二向量必共面，从而a,b,c必共面；(4)只有当ABDC组成平行四边形，即

16、＝时,才共线.作业题：1.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量、、、、、、、、、、和中，哪些向量是相等的？2.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、.§1.2向量的加法一、概念1.两个例子物理学中的力与位移都是向量.两个不共线的力作用于一点的合力，可用“平行四边形法则”求得，如图1-4,两个力、的合力，就是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线向量.两个位移的合成可以用“三角形法则”求出

17、，如图1-5,连续两次位移与的结果,相当于位移.2.向量的加法法则(1)三角形法则设已知向量、，以空间任意一点O为始点接连作向量＝,＝得一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的向量＝，叫做两向量与的和，记做＝+.(2)平行四边形法则如果以两个向量、为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量＝+叫做向量与的和.二、性质1.运算规律(1)交换律+＝+;(2)结合律(+)+＝+(+);(3)+＝;(4)+(－)＝.2.向量加法的多边形法则有限个向量,,…,相加，自任意点O开始，依次作＝,＝,…,＝，得一

18、折线OA1A2…An，于是向量＝就是n个向量,,…,的和＝++…+,即＝++…+.特别地,当An与O重合时，＝＝.3.向量减法(1)设向量与的和等于向量，即+＝，那么向量叫做向量与的差，记做＝－，由向量与求它们的差－的运算叫做向量减法.(2)减去一个向量等于加上它的相反向量，即有－＝+(－)4.三角不等式(1)

19、+

20、≤

21、

22、+

23、

24、,

25、-

26、≥

27、

28、-

29、

30、;证明：如图1-4,

31、+

32、=

33、

34、，

35、

36、+

37、

38、＝

39、

40、+

41、

42、，

43、-

44、=

45、

46、；根据“三