人教版高中数学选修4-1典型例题：平行线等分线段定理

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1、平行线等分线段定理一、知识点 1.掌握平行线等分线段定理及其推论. 2.会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.二、例题分析第一阶梯[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.提示： （1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？ （2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？ （3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？参考答案： 证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.       ∴E是AB的中点.       （经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.     

2、   又∵EF∥AC，交BC于F.         ∴F是BC的中点，即BF=FC.说明： （1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点. （2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.    已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.提示： （1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？更多教学资源下载 （2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅

3、助线即可得到另一腰的中点. （3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？参考答案： 证明：过E点作EF∥BC交DC于F.       ∵在梯形ABCD中，AD∥BC.       ∴AD∥EF∥BC.       ∵E是AB的中点.       ∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.       ∵∠ADC=90°       ∴∠DFE=90°∴EF⊥DC于F又F是DC中点       ∴EF是DC的垂直平分线       ∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.说明： （1）命题证明要正

4、确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证. （2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.提示： （1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？ （2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？ （3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？参考答案：更多教学资源下载 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分

5、别是BC、AD边上的中点.       ∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）       ∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.       ∴P是AQ的中点∴AP=PQ.       在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.       ∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.       ∴AP=PQ=QC.说明： （1）此题两次利用了E、F是中点的条件.  （2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.      [例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF

6、.提示： （1）E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形完善吗？ （2）如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的中点？ （3）在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？参考答案： 证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E       ∴在△AEC与△MEC中              ∴△AEC≌△MEC       ∴AE=EM       ∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.更多教学资源下载       ∴点F是AB边的中点∴AF=BF.说明： （1）一般情况下，几何图形应具有对称的

7、内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了. （2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线. （3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.    第三阶梯[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.提示： （1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？ （2）如何添加辅助