3《概率沉思录》基本的抽样理论

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1、3基本的抽样理论在此，我们可用的数学材料包括积准则与和准则P(AB

2、C)=P(A

3、BC)P(B

4、C)=P(B

5、AC)P(A

6、C)(3.1)P(A

7、B)+P(A

8、B)=1(3.2)从上式中我们可以得到拓展的和准则P(A+B

9、C)=PQ4

10、C)+P(B

11、C)-P(AB

12、C)(3.3)并且还有愿景(IIlc)的一致性，无差异原则：如果以信息B为背景，假设(H],H2，…,Hn)是相互独立和可穷尽的，并且对于信息B中的任一信息不亚于任何其他信息，则P(Hi

13、B)/二扌，(1

14、集合上为真，而在其余的(N-M)上为假，贝9：PG4

15、B)=£(3.5)重要的是要认识到，概率理论的多少可以从不超过此基础而得出。事实上，目前所教的基本上所有的传统概率论，加上往往被认为是超出了概率理论领域的许多重要结果，都可以由上述的基础推导得出。我们将在接下来的儿章中详细说明这一点，然后在笫11章屮，我们将重新讨论机器人大脑的基础研究，以更好地了解哪些额外的原则需要进一步的被应用。在本章中所给出理论的首次应用，与那些我们在以后所希望实现的严谨科学推理相比较,实质上是很简单的、很初级的。然而，我们对他们细节Z处考虑的解释，并不是纯粹的教学形式。未能理解这些最简单应用的逻辑，已

16、成为儿十年来阻止科学推理(因此科学本身也是)进步的主要因素之一。因此，我们敦促读者，即使是已经熟悉基本抽样理论的人，在对更复杂的问题深入之前，要仔细消化本章的内容。3.1不放回抽样让我们通过定义以下命题来使得伯努利情景稍微特别一些。B三一个瓮里面有N个球，这些球被数字(1,2,…,N)标记，其中的M个为红色，剩下的(N・M)个为白色。除此之外，这些球没有任何的不同。我们蒙着眼睛从瓮中抓取一个球，观察并记录其颜色，放一边。Z后，重复此过程直到n个球被抓取来为止，OSnSN。Ri=i次抓取的球为红球。叫•三i次抓取的球为白球。因为，基于信息B,只有红色或白色可抓取，我们有P(RJB

17、)+P(Wt

18、B)=1,0

19、B）=1—律（3.9）让我们清楚地了解这意味着什么。概率赋值（3.8）和（3.9）不是对瓮或其内容的任何物理性质的断言；它们是在球被抓取之前对机器人知识状态的描述。事实上，如果机器人的知识状态与定义的B信息不同（例如，如果它知道红色和白色球在瓮中的实际位置，或者如果它不知道N和M的真实值），则&和W］的概率赋值会有所不同；但瓮的真实性质是不变的。因此，对瓮进行“验证”（3.8）的实

20、验是不合乎逻辑的。这就像对男孩的狗进行实验来试图验证一个男孩对狗儿的爱。在这个阶段，我们关注的是对不完全信息的逻辑推理，而不是对物理事实（从瓮屮可以拿到什么）的断言。最终，我们的机器人将能够做出一些非常自信的物理预测方法，但（除了在退化的情况下）没有达到逻辑演绎的必然性；但是，在我们说什么量可以很好的预测和此处需要什么样的信息之前，理论需要进一步发展。不同的是，不同知识状态的机器人赋予的概率与在实验中观察到的事实之间的关系，是不得任意假定的；我们只是使用那些可以从概率论规则推导出来的关系，就如我们现在要做的那样。当我们问到第二次抓取对应的概率时，机器人的知识状态出现变化。例如，

21、机器人前两次抓取为红色的概率是多少？由积规则，得到P（RiR2

22、B）=P（Ri

23、B）P（R2

24、R】B）（3.10）在最后一项中，机器人必须考虑到一个红球已经在笫一次抓取之时被移除了，所以还有（N・l）个球且其中的（M-1）个球是红色的。所以p(RiR2

25、b)=MM-1NN_(3.11)同理，前r次抓取为红色的概率是MM-1NN-1(3.12)如果我们明白我们通过伽马方程关系n!=T（n+1）来定义阶乘，约束条件rM时（3.12）自动为零。类似的，只需要将M替换为（N-M）,前w次抓取为白色的概率是：(3.13)则，给定我们前

26、r次抓取为红色的情况下，第（r+1,r+1r+w）次抓取为白色的概率为，给定（3.13）,考虑将N和M分别替换为（N-r）和（M-r）,P(Wr+1…W厂+』R]...RrB)=(3.14)则，fh（3・12）和（3.14）通过积准则得到，n次抓取得到w=n-r个白球和r个红球的概率为P(R1...Rrwr+1...Wr+n

27、B)(3.15)（/V-r）!这一项被约去了。虽然该结果是M!(M-r)!虽然这个结果是由拿出红球和白球的一个特定顺序所得出的,但在任何特定的顺序n次抓取中得到r个红球