5、A
6、=－2,把A按行分块为,其中Aj(j=1,2,3)是A的第j行,则行列式______.45解..二．计算证明题1.设计算A41+A42+A43+A44=?,其中A4j(j=1,2,3,4)是
7、A
8、中元素a4j的代
9、数余子式.解.A41+A42+A43+A44=2.计算元素为aij=
10、i－j
11、的n阶行列式.解.3.计算n阶行列式(n³2).解.当+45=+++=－=－－=0当4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:(n为奇数).所以
12、A
13、=0.5.试证:如果n次多项式对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n+1个不同的零点为x0,x1,…,xn.将它们代入多项式,得关于Ci方程组…………系数行列式为x0,x1,…,xn的范德蒙行列式,不为0.所以6.设45解.====第二章矩阵一.填空题1.设a1,
14、a2,a3,a,b均为4维向量,A=[a1,a2,a3,a],B=[a1,a2,a3,b],且
15、A
16、=2,
17、B
18、=3,则
19、A－3B
20、=______.解.==2.若对任意n×1矩阵X,均有AX=0,则A=______.解.假设,ai是A的列向量.对于j=1,2,…,m,令,第j个元素不为0.所以(j=1,2,…,m).所以A=0.3.设A为m阶方阵,存在非零的m×n矩阵B,使AB=0的充分必要条件是______.解.由AB=0,而且B为非零矩阵,所以存在B的某个列向量bj为非零列向量,满足Abj=0.即方程组AX=0有非零解.所以
21、A
22、=0;反之:若
23、
24、A
25、=0,则AX=0有非零解.则存在非零矩阵B,满足AB=0.所以,AB=0的充分必要条件是
26、A
27、=0.4.设A为n阶矩阵,存在两个不相等的n阶矩阵B,C,使AB=AC的充分条件是______.解.5.=______.45解.6.设矩阵=______.解.==－+==7.设n阶矩阵A满足=______.解.由得.所以,于是A可逆.由得8.设=______.解.=,,45==9.设解.
28、A
29、=－3－12+8+8+6－6=110.设矩阵,则A的逆矩阵=______.45解.,使用分块求逆公式－=所以二.单项选择题1.设A、B为同阶可逆矩阵,则(A)A
30、B=BA(B)存在可逆矩阵P,使(C)存在可逆矩阵C,使(D)存在可逆矩阵P和Q,使解.因为A可逆,存在可逆.因为B可逆,存在可逆.所以=.于是令,.(D)是答案.2.设A、B都是n阶可逆矩阵,则等于(A)(B)(C)(D)解..(A)是答案.3.设A、B都是n阶方阵,下面结论正确的是(A)若A、B均可逆,则A+B可逆.(B)若A、B均可逆,则AB可逆.(C)若A+B可逆,则A－B可逆.(D)若A+B可逆,则A,B均可逆.解.若A、B均可逆,则.(B)是答案.4.设n维向量,矩阵,其中E为n阶单位矩阵,则AB=(A)0(B)－E(C)E(D)解.A
31、B==+2－245=E.(C)是答案.5.设,,,设有P2P1A=B,则P2=(A)(B)(C)(D)解.P1A表示互换A的第一、二行.B表示A先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P2=.(B)是答案.6.设A为n阶可逆矩阵,则(－A)*等于(A)－A*(B)A*(C)(－1)nA*(D)(－1)n－1A*解.(－A)*=.(D)是答案.7.设n阶矩阵A非奇异(n³2),A*是A的伴随矩阵,则(A)(B)(C)(D)解.(C)是答案.8.设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r1,矩阵B=AC的秩为r,
32、则(A)r>r1(B)r
