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1、圆锥曲线经典例题及总结(全面实用) 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于
2、F1F2
3、，定义中的“绝对值”与2a＜
4、F1F2
5、不可忽视。若2a＝
6、F1F2
7、，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥
8、F1F2
9、
10、，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： x2y2y2x2椭圆：焦点在x轴上时221，焦点在y轴上时22＝1。 abab方程AxByC表示椭圆的充要条件是什么？。 22x2y2y2x2双曲线：焦点在x轴上：22=1，焦点在y轴上：22＝1。方程 abab。Ax2By2C表示双曲线的充要条件是什么？ 抛物线：开口向右时y2px(p0)，开口向左时y2px(p0)，开口向上时 22x22py(p0)，开口
11、向下时x22py(p0)。 3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a最大，abc，在双曲线中，c最大，cab。 2222222222 4.圆锥曲线的几何性质： x2y2椭圆为例）：①范围：axa,byb；②焦点：两 ab个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心，四个顶点(a,0),(0,b)。
12、ca2其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x；⑤离心率：e，椭圆0e1。 ace越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 x2y221为例）双曲线，两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ca2xyk,k0；④准线：两条准线x；⑤离心率：e，双曲线e1，等轴双曲线ac22e2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y2bx。ap,0)，其中p2抛物线：①范围：x0,yR；②焦点：一个焦点(的几何意义是：焦点
13、到准线的距离；③对称性：一条对称轴y0，没有对称中心，只有一个顶点；④准线：一条准线xcp；⑤离心率：e，抛物线e1。 a222x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆221的关系：点P(x0,y0)在椭圆外221； abab2222x0y0x0y0点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；点P(x0,y0)在椭圆内221 abab 6．直线与圆锥曲线的位置关系： 相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交
14、点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切； 相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。 提醒：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直
15、线与抛物线的轴平行时,直线 x2y2与抛物线相交,也只有一个交点；过双曲线22＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个 ab公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；过抛物线外一点总有三条
16、直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形问题：Sbtan22c
17、y0
18、。 当
19、y0
20、b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线Sb2tan2。如短轴长为5。 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥P
