一石击起千层浪——由一道数学练习题所想到的

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1、一石击起千层浪——由一道数学练习题所想到的内蒙古杭锦后旗奋斗中学刘岩哲邮编：015400指导老师:母进先一、概要1．起因高一学数列时，曾遇到过这样的问题：已知数列的通项，求其前项和。老师告诉我，对于这个数列的前项和公式记住就行了，不必深究其推导过程，但我不满足于仅仅是“记住”。于是我开始探究如何“求出”这个数列的前项和公式。经过一番探究后，我找到了第一种方法“累加法”（见第三页1）。但我不满足于只会一种方法，试图找到一种新的、更好的方法。但由于时间不允许以及所学知识有限，我没有继续深究。但我也没有将这个问题就此放过，而是将这个问题记在了笔记本上，等待

2、以后解决。在以后的数学学习中，我每学完一章知识，就把这个问题拿出来思考思考，看能否找到一种新的方法来解决这个问题。（这些思考虽然用的时间并不长，最终也没有找到新方法，却在潜移默化中锻炼了我的数学思维，培养了我的数学能力）一直到高二学排列组合之前，我尽管尝试了很多次，但一直没有找到一种新的方法。但我并没有放弃，而是继续尝试。2．诱因——山穷水复疑无路，柳暗花明又一村功夫不负有心人，在高二学排列组合时，我遇到了一道这样的练习题：。在做完题后的反思中，我发现，这道题还可以这样理解：若数列的通项，则其前项和。而，仔细一“”与“”竟有着惊人的相似之处——的最高

3、次数都是二次。我继续思考：既然数列的前项和，而，那么的前n项和应该也可以求出。我非常兴奋，感到：也许我探求了一年多时间而尚未得到解决的问题，就要得到解决了。高兴之余，我在上面的思考的基础上，快速做出了第二种解法——组合数法（见第四页3）。一石击起千层浪，接下来我按照“提出疑问，解决疑问“的思路并综合运用多种数学思想方法知识，最终用比较简便的方法“数表法”解决了一类一般性问题，即：（）第11页共11页３．整个探究过程的思路简述(1)利用两种方法[累加法(见第三页1题)，组合数法（见第四页3题）]求得“”。(2)发问：“”，那么“”。（注：这一“问”不要

4、紧，接连“问”出了许多富有挑战性的问题。）(2)'解决疑问：利用求“”的两种方法，同理求出了“”（见第四页4）。(3)发问：对于一般的“”（）,是否都能用上面的两种方法（①累加法②组合数法）求出呢？(3)'解决疑问：通过对“”及“”的解题过程的反思，我发现，可以用上面的两种方法（①累加法②组合数法）解决，但在实际操作中必须先将“”，“”......一直到“”都求出，才能求得“”。这样的话，对于通项中的次数较低的数列（例如：），其前项和还可以用上面两种方法（①累加法②组合数法）较容易地求出，但对于的次数较高的数列（例如：），其前项和如果用上面两种方法求

5、，显然比较麻烦。但同时，我继续反思“组合数法”，还发现求“”与有关，求“”与有关，求“”与有关，以此类推，求“”与有关，求“”与有关。由以上两发现，我有了如下的推理：既然求“”与求“”“”……“”都有关；而求“”，“”……“”分别与、……有关，所以求“”与“”都有关，而且求”与有关，所以求“”与“”都有关。再此推理的基础上，我又经过一番探究，创造性地形成了以下猜想：若能将，写成,那么，根据结论（若数列的通项公式），其前项和就可以求出，即（其中均为常数，且规定时，）第11页共11页(4)接下来，利用猜想重新求“”和“”来初步验证猜想的正确性。然后利用猜

6、想求得了正确的结果，从而初步验证猜想是正确（对于猜想的严格证明请看第九页注2）。(5)接下来的核心问题就是如何求出“”中的系数。如果能求出这些系数，那么就可以借助于猜想，较容易地求出任意的“（）”。(6)接下来，我经过多次尝试，找到了一种求系数的方法——赋值法（构造函数，然后赋值，从而将系数分离出来，得到一个方程组，然后解方程组，从而将系数求出）尽管此法对于所有的都是适用的，而且也比较简单。但我还是不满足，力求找到一种更为简单的方法。(见第六页6)(7)接下来，在赋值法的基础上，又经过较长时间的探索与研究，我终于找到了一种更简便的求系数的方法——数表

7、法（类似于我国古代著名的杨辉三角），此法除了具有“赋值法”的优点（对于一切都适用）外，还具有“运算简便”这一优点。二、详细地探究过程１．高一时想到的方法（方法一：累加法）例：已知数列的通项，求其前项和。解：已知连续令得到：...............个式子相加得由此解得第11页共11页此法没有正面去求“”而是利用叠加法间接地将“”求了出来。同时，我还发现此法要求“”需先将“”求出。２．高二时的一道练习题例：求解：∵∴原式又根据组合数的性质“”得。３．换一个角度理解此题（方法二：组合数法）若数列的通项（规定），则，即当时，这一思维角度的转换，成为了我

8、整个探究过程的诱发点。然后来解决“”解:∵∴又根据上面知：∴由此解得此法借助于一道组合练习题的结论，解决了一