小学奥数讲义最短路线专题

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1、全国首创“家校合一”系列品牌可上门辅导最短路线专题在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。典型例题例[1]假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？AB甲村乙村AB甲村乙村图1图2分析5咨询热线：010-56109170海淀校区地址：北京市海淀区北三环西路联想

2、桥满庭芳园（人民大学东门）1号楼A座206室乘车路线：1、红民村站下：425路，619路，718路，827路，836路，323路，422路，361路，367路。2、四通桥东站下：619路，8路，727路，967路，801路，836路，731路，425路，422路，302路，运通101路，运通201路。全国首创“家校合一”系列品牌可上门辅导如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最近的点，但是乙村到C点就较远了。反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路

3、AB的D点又远了。因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。例[2]一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全

4、程要走多少千米？124213分析5咨询热线：010-56109170海淀校区地址：北京市海淀区北三环西路联想桥满庭芳园（人民大学东门）1号楼A座206室乘车路线：1、红民村站下：425路，619路，718路，827路，836路，323路，422路，361路，367路。2、四通桥东站下：619路，8路，727路，967路，801路，836路，731路，425路，422路，302路，运通101路，运通201路。全国首创“家校合一”系列品牌可上门辅导选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回

5、到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。124213124213124213124213(a)(b)(c)(d)图4为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路线。图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：（a）3×4=12（千米）（b）3×2＋2×2=10（千米）

6、（c）2×4=8（千米）（d）3×2＋4×2=14（千米）5咨询热线：010-56109170海淀校区地址：北京市海淀区北三环西路联想桥满庭芳园（人民大学东门）1号楼A座206室乘车路线：1、红民村站下：425路，619路，718路，827路，836路，323路，422路，361路，367路。2、四通桥东站下：619路，8路，727路，967路，801路，836路，731路，425路，422路，302路，运通101路，运通201路。全国首创“家校合一”系列品牌可上门辅导当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。解邮递员应按图4（c）所示的路线

7、走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4=20＋18＋8=46（千米）小明家学校北例[3]图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。小明家ABFEFDEF5咨询热线：010-56109170海淀校区地址：北京市海淀区北三环西路联想桥满庭芳园（人民大学东门）1号楼A座206室乘车路线：1、红民村