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时间：2019-09-12
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1、在这一节中,我们仍以为代一、归结原则§3函数极限存在的条件三、柯西收敛准则二、单调有界定理他类型的极限,也有类似的结论.表,介绍函数极限存在的条件.对于其返回一、归结原则的充要条件是:对于在以x0为极限的都存在,并且相等.证(必要性)设则对任给定理3.8存在那么对上述存在所以这就证明了(充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学恒有时,不以A为极限,则存在正数设任给会这种方法.）现分别取存在相应的使得对于任意正数使得另一方面,所以这与矛盾.注归结原则有一个重要应用：若存在但是不存在.例1都不存在.解故不存在.故不存在.证必要性应该是显然的.下面我们证明充分性.f(x)
2、不以A为极限.则存在正数这样就得到一列严格递减的数列这与条件矛盾.二、单调有界定理定理3.10设f为定义在上的单调有界函数,则右极限（相信读者也能够写出关于证不妨设f在因为f(x)有界,故的单调有界定理.）存在,设为A.由确界定义,对于由f(x)的递减性,这就证明了对于单调函数,归结原则的条件就要简单得多.例3存在的充要条件是存在一个数列证必要性可直接由归结原则得出,下面证明充分对于任意当时,有假设递减．性.三、柯西收敛准则的柯西收敛准则,请读者自这里仅给出有定义,则极限存在的充要条件是:任定理3.11设f(x)在的某个邻域上明之.行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则
3、，并证对一切x>X，证（必要性）则对于任意(充分性)这样就证明了对于任意的存在且相等.由归结原则,存在.但是注由柯西准则可知,不存在的充要条件例如,定理3.8中的条件“并且相等”这几个字是否可以省复习思考题存在．略?
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