随机样本和抽样分布

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1、第五章随机样本和抽样分布■数理统计的基本概念■一些常用的抽样分布■上侧α分位数一、总体和样本1.总体:研究对象的全体,通常指研究对象的某项数量指标.我们常用X,Y,Z等大写字母来表示总体.组成总体的每个基本单元叫做个体.例如:某学校全体女生的身高的全体是一个总体,而每一个女生的身高是一个个体.由于每个个体的出现是随机的,所以个体可以看作一个随机变量,因此,随机变量的分布就是个体在总体中的分布,则总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.§1数理统计的基本概念2.样本:定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量,则称为从总体X

2、中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值称为样本值。由定义知：若为X的一个样本，则的联合分布函数为：若设X的概率密度为f，则　　　　　的联合概率密度为：对于样本需要强调两点：ａ）样本并非一堆杂乱无章无规律可循的数据，它是受随机性影响的一组数据，因此，用概率论的话说，就是每个样本既可以视为一组数据，又可视为一组随机变量，这就是所谓样本的二重性。当通过一次具体的试验，得到一组观测值，这时样本表现为一是组数据；但这组数据的出现并非必然的，它只能以一定的概率（或概率密度）出现，这就是说，当考察一个统计方法是否具有某种普遍意义下的效果时，又需要将其样本视为

3、随机变量，而一次具体试验得到的数据，则可视为随机变量的一个实现值。ｂ）样本也不是任意一组随机变量，我们要求它是一组独立同分布的随机变量。同分布就是要求样本具有代表性，独立是要求样本中各数据的出现互不影响，就是说，抽取样本时应该是在相同条件下独立重复地进行。例1.设一组抽奖券共10000张，其中有5张有奖。问连续抽取3张均有奖的概率为多少？为了讨论这个问题，不妨设要求该事件的概率，实际上即是求联合概率分布在处的值。但题中没有说明“连续抽取”是“有放回的”还是“无放回的”，不妨都计算一下：（ⅰ）无放回时：（ⅱ）有放回时：显然（ⅰ）中的抽样方式不是独立的，每次抽样的

4、结果都将影响下一次抽样的分布，这种抽样不是我们通常研究的抽样。而（ⅱ）中的抽样，则是多次独立的抽样，它们是同分布的，即我们通常称为的随机抽样。这样得到的数据，即是我们常研究的简单随机样本，或就直接称为样本。由此可以看出，对于样本（5.1），如果每个的共同分布为，则样本（5.1）的分布为相应地，若有共同概率密度，则（5.1）的概率密度为二、理论分布与经验分布1.总体是一个随机变量，总体的分布就称为理论分布对于总体的分布函数（未知），设有它的样本我们可以从样本出发，找到一个已知量来近似它，这就是经验分布函数.它的构造方法是这样的，设诸观察值按从小到大可排成定义2.

5、直方图：设是总体的一个样本，又设总体具有概率密度，如何用样本来推断？注意到现在的样本是一组实数，因此，一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。具体做法如下：1.找出，。取略小于，略大于；3.记=落在小区间中观察值的个数（频数），计算频率，列表分别记下各小区间的频数、频率。4.在直角坐标系的横轴上，标出各点,分别以为底边，作高为的矩形，即得直方图2.将分成个小区间，，小区间长度可以不等，都要有若干观察值，而且观察值不要落在分点上。设分点为在分小区间时，

6、注意每个小区间中三、样本数字特征与统计量定义1.4：设　　　　为来自总体X的一个样本，g是　　　　的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；则称是一个统计量设是相应于样本的样本值，则称是的观察值注：统计量是随机变量。1.常用统计量：样本均值：样本方差：样本标准差：样本k阶（原点）矩：样本k阶中心矩：其中2.它们的观察值分别为：样本均值:样本方差:样本标准差:样本k阶矩:样本k阶中心矩:例2.设是出自总体的样本，其中为未知参数，则是统计量，但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数或．同理，我们可以自己来做下面一个例题例3.设　　　　为来自总体的一个样本，其中

7、未知，　已知，问下列随机变量中那些是统计量例4.从某地区随机抽取50户农民,调查其年收入情况，得到下列数据（每户人均元）：9248009167048701040824690574490972988126668476494040880461085260275478896270471285488876884888211928208786148467468287928726966449268081010728742850864738试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大致分析。记各农户的年收入数为，则考虑这样，我们可以从得出该地区农民平均人均收人水平属中等，从

8、可以得出该地区农民贫富悬殊不大的结论。