考研精华11-3

《考研精华11-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三节格林公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积一、格林（Green）公式定理110平面区域D的边界L的正向的概念：近处的那部分总在他的左边.简言之，外圈逆时针方向；内圈顺时针方向．注当观察者沿该方向行走时，D内在他20以L为边界的平面闭区域D的面积为（在格林公式取　　　　　　）30格林公式记忆法:40格林公式的实质:揭示了曲线的积分与二重积分之间的联系.例1设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证则利用格林公式,得令例2计算其中L是以点O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形正向边界.解则利用格林公式,得令例3计算

2、其中L为由点O(0,0)到点A(2,0)的上半圆周解则利用格林公式,得令设则计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑逆时针向闭曲线.解则例4令LL取顺时针方向．D二、平面上曲线积分与路径无关的条件BA1．平面上曲线积分与路径无关的定义yxo定义2．平面上曲线积分与路径无关的等价刻画命题3．平面上曲线积分与路径无关的条件定理2若平面区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为单连通区域,否则称为复连通区域.注复连通区域即为有“洞”区域简言之，单连通区域即为无“洞”区域，DD验证曲线积分在全平面则内与路径无关，并计算令所以曲线积分取积分路径：例5解路径无关．在全平面内与

3、其中，．．则例6其中L为曲线　　　　　上故原曲线积分在右半平面内与路径无关．从点（2，1）到点（1，2）的一段弧.则在右半平面内，有令计算解取积分路径：其中，则．．三、二元函数的全微分求积定理3注即：存在使得对有在G内为某一函数的全微分10方法一：曲线积分法方法二：不定积分法（＊）【代入（＊）式即得】例7全微分？如是，求出一个这样的函数.设则故存在函数u(x,y)使。。是否为某个函数的解条件(1)在D内曲线积分　　　　　　与路径无关．等价命题（1）对于D内任一闭曲线C，有（3）在D内处处成立．（2）存在函数解故则令故原曲线积分在全平面内与路径无关．取积分路径：其中，．

4、解令则故．练2