考研精华11-5

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1、第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面及有向小曲面的投影二、对坐标的曲面积分的概念三、对坐标的曲面积分的性质四、对坐标的曲面积分的计算五、两类曲面积分之间的联系一、有向曲面及有向小曲面的投影1.双侧曲面曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(1)如果规定法向量的指向朝上，就称取定曲面的上侧；2.曲面的侧的概念(3)如果规定法向量的指向朝前，就称取定曲面的前侧．(4)对于闭曲面，如果其规定法向量的指向朝外，就称取定曲面的外侧.通过规定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.(2)如果规定法向量的指向朝右，就称取定曲面的右侧；方向余弦>0为前侧<0为后侧

2、封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定3.有向曲面的概念指定了侧的曲面叫有向曲面.4.有向小曲面在坐标面上的投影二、对坐标的曲面积分的概念定义（1）函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分记为规定：（2）函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分记为规定：（3）函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分记为规定：──被积函数其中──积分曲面Σ10对坐标的曲面积分也称为第二类曲面积分．注20如果Σ是闭曲面,则积分号“　”,应改写为“　”．30可简记为三、对坐标的曲面积分的主要性质性质1性质2性质2表明：对坐标的曲面积分必须注意　积分曲面的侧（方向）

3、!其中　表示与取相反侧的曲面．四、对坐标的曲面积分的计算则则则（前侧取“＋”，后侧取“－”）（上侧取“＋”，下侧取“－”）（右侧取“＋”，左侧取“－”）注20计算对坐标的曲面积分的思想方法：简言之，“一投，二代，三定号”一定投影区域，二代被积函数，三定积分符号．解（上侧）（下侧）其中例2计算其中是由平面与三坐标面所围成的四面体的整个表面的外侧.解(后侧);(前侧).其中(左侧);(下侧);（1）先计算【前侧取正】(后侧);(右侧).其中(左侧);(下侧);（2）再计算【左侧取负，右侧取正】故五、两类曲面积分之间的联系其中是有向曲面Σ在点处的法向量

4、的方向余弦.注1020曲面　的法向量的方向必须与　的侧一致．解因为　取下侧，故于是，利用两类曲面积分的联系是连续函数，Σ是平面在第四卦限部分的上侧,计算解例4设因为　取上侧，故利用两类曲面积分的联系