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1、笫八章常用算法程序举例本章介绍的一些例子，这是计算机解题中所常遇到的，通过它们可以学习程序设计的方法与技巧。切实掌握基本的算法，并在此基础上举一反三。8.1数值积分求一个函数f(x)在〔a,b〕上的定积分，其几何意义是求f(x)曲线和直线x=a，y=0，x=b所围成的曲边梯形面积。为了近似求出此面积，可将〔a,b〕区间分成若干个小区间，每个区间的宽度为(b—a)／n，n为区间个数。近似求出每个小的曲边梯形面积，然后将n个小面积加起来，就近似得到总的面积。即定积分的近似值，当n愈大(即区间分得愈小，近似程度愈高。yf(b)f(a)aa+hba+(i-1)ha+ih图8.18.1数值积分近
2、似求小曲边梯形面积的方法，常用的有以下三种：(l)用小矩形代替小曲边梯形，求出各小矩形面积，然后累加(2)用小梯形代替小曲边梯形。(3)在小区间范围内，用一条抛物线代替该区间内的f(X)，然后求出由该抛物线与x=a+(i-1)h，x=0，x=a+ih形成的小曲边梯形面积。图8.2图8.38.1.l矩形法矩形的面积为底×高。第一个小矩形的面积，底的值就是(b-a)/n，高为f(a)，当然也可以用f(a+h)为高。第i个小矩形的面积为：si=h·f(a+(i-l)·h)用N－S图描述求定积分的算法，如右图输入A,B,NH=(B-A)/NS=0DoI=1,nX=A+(I-1)*HS=S+H*
3、F(X)打印面积S图8.48.1.l矩形法例8.1求按图8.4写出程序。READ(*,*)A,B,NH=(B-A)/NS=0.0DO10I=1,NX=A+(I-1)*HS=S+H*EXP(X)CONTINUEWRITE(*,100)A,B,NWRITE(*,200)SFORMAT(1X,’A=‘,F10.3,3X,’B=‘,F10.3,3X,’N=‘,I4)FORMAT(1X,’S=‘,F15.8)END8.1.2梯形法这也是近似地用小梯形表示小曲边梯形，见右图。笫i个小梯形面积为那么yf(a+(i-1)h)f(a+ih)0xa+(i-1)ha+ih8.1.2梯形法例8.2求READ(
4、*,*)A,B,NH=(B-A)/NS=0.0DO10I=1,NS=S+H*(SIN(0.0+(I-1)*H)+SIN(0.0+I*H))/2.0CONTINUEWRITE(*,100)A,B,NWRITE(*,200)SFORMAT(1X,’A=‘,F10.3,3X,’B=‘,F10.3,3X,’N=‘,I4)FORMAT(1X,’S=‘,F15.8)END8.1.3辛普生(Sinpson)法其基本方法是：在一小区间内用一抛物线f1(x)代替原来的曲线f(x)，见图8．5。抛物线是如何决定的呢？取a，b的中点c，c的坐标为求出f(c)，过f(a),f(b),f(c)三点可以作一条唯一
5、的抛物线：抛物线定积分公式其中yf1(x)f(c)f(b)f(a)f(x)acbx8.1.3辛普生(Sinpson)法如果把[a,b]分成n个小区间，则其中8.1.3辛普生(Sinpson)法用辛普生法求READ(*,*)A,B,NH=(B-A)/(2.*N)S=0.0FA=1.0/(1.0+A)FB=1.0/(1.0+B)X=A+HF2=0.0F4=1.0/(1.0+X)DO10I=1,N-1X=X+HF2=F2+1.0/(1.0+X)X=X+HF4=F4+1.0/(1.0+X)10CONTINUES=H/3.0*(FA+FB+4.0*F4+2.0*F2)WRITE(*,100)A,
6、B,NWIRTE(*,200)SFORMAT(1X,’A=‘,F8.2,2X,^‘B=‘,F8.2,2X,’N=‘,I4)FORMAT(1X,’S=‘,F16.7)END8.2解一元方程 8.2.1迭代法用迭代法求一元方程f(X)的根，其基本方法如下：(l)将f(X)改写成求X的式子：X＝g(X)形式。(2)大致估计出一个根X的范围，给X定一个初值X0，把它代入上式等号的右边，求出X的第一次近似值X1。(3)再将X1代入g(X)得X2。这样一次一次地将求出的新值又作为下一次的初值代入g(X)。直到前后两次求出的X值很接近，即为止。ε是一个给定的很小的数。这时xn+1就是所求的近似值。例
7、8.4用迭代法求解x3＋2x2＋2x＋1＝0先找出x＝g(x)式子，可得到：x=(-x3-2x2-1)/28.2.1迭代法估计在0附近有一个根。设x0=0。在设计算法时，应考虑一个问题,有可能经过许多次迭代后仍不收敛。为防止无休止的迭代下去，应规定一个最高的循环次数，如达到此次数仍不能满足就不再进行下去，应打印出“经xx次迭次后仍未收敛”。应当说明：对同一个f(X)，可以写出不同的X=g(X)形式。例如，对X3＋2X2＋2X+1＝0，可以写出：
