寒假讲义1——倍长(教师版)

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1、中考数学之王专题2A01：全等三角形—倍长系列纵贯线【引子1】（09丰台二模）操作:如图1,点为线段的中点,直线与相交于点,请利用图1画出一对以点为对称中心的全等三角形.探究:如图2,在四边形中,AB∥DC,为边的中点,,与的延长线相交于点.试探究线段与之间的等量关系,并证明你的结论.图一：分别过pq做MN的垂线，所得三角形为全等三角形图二：AB=AF+FC证明：延长DF，交AE的延长线于GAB=CGAF=FG所以：AB=AF+FC【引子2】求证：若三角形一边上的中线和它所对角的角平分线互相重合，则这是一个等腰三角形过底角一点做对边的平行线得到的三角形和左边的三角形全等且对应角相等所以两腰

2、相等（等量代换）解题思路及知识总结：9【例1】（难度★★★）（新年华题库）在△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上的一点，EF交BC于D，DE=DF.求证：BE=CF过F做fh平行于AB交BC的延长线于H所以：三角形BED全等于三角形DFHBE=FH又因为：FC=FH所以：BE=CF【例2】（难度★★★☆）（新年华题库）已知：AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，且BC＝2AB．　　求证：AC＝2AE．过D做AB的平行线交AE的延长线于F易证：三角形ABE全等于三角形FDE则AB=FD=DC又因为∠ADC=∠ABD+∠BAD∠ABD=∠BDF∠BDA=∠BAD所以：

3、△ADF全等于△ADC所以：AF=AC=2AE9【例3】（难度★★★）（新年华题库）已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，过B作射线BE，分别交AC、AD于点E、F，若AF∶FD＝1∶5，求:AE∶EC过B做AC的平行线交AD延长线于M所以：AC=BMAE:AC=AE:BM=AF:FM=1:11所以AE:EC=1:10解题思路及知识总结：【例4】（难度★★★☆）（新年华题库）已知AB为半圆的直径，C为圆周上一点，D为弧BC的中点，连结AD、AC、BD，延长AC、BD并相交于点F，E为AB的三等分点，连结EF，交AD于G。求证：G为AD的中点。过F做AB的平行线交AD的延长线于M则AE:F

4、M=AG:GM=1:3又因为：AD=DM所以：AG=GD所以：G为AD中点9【例5】（难度★★★★）（新年华题库）已知：抛物线y=－x2+mx+2m2(m＞0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点(点C与点A、B不重合)，D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E。（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求的值；（3）当C、A两点到y轴距离相等，且时，求抛物线和直线BE的解析式。A（-m,0）B(2m,0)过o做OM平行AC于M易知：EC=OMEC:AE=OM;AE=OB:AB=2:3过D做AC的高，过O做AC的高，之比为1：2又因为：CE:AC=2:5所以

5、：SCED：SOAC=1：5△OAC面积=8M=2Y=解题思路及知识总结：9【例6】（难度★★★）（新年华题库）已知：如图6，在△ABC中，D为BC边中点，FD⊥ED于点D,交AB、AC于点F、E。求证：BF＋CE＞EF过C做AB的平行线交FD的延长线于M连接CM，EM此时：BF=CMEF=EM所以不等式得证【例7】（难度★★★★☆）（新年华题库）在△ABC中，点D，E是BC边的三等分点，求证AB+AC>AD+AE选取DE中点M过C做AB的平行线交AM的延长线于N易证EN平行于AD此时AD=ENAB=CN则：AC+CN>AE+EN解题思路及知识总结：9【例8】（难度★★★★）（新年华题库）

6、已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，P为AD上任一点，连结BP、CP并延长分别交AC、AB边于点E、F，连结EF。求证：EF∥BC延长AD至M使AD=DM连结BM,CMAP:PM=EP:BPAP:PM=EP:PC所以：FP:PC=EP:BP所以：EF平行于BC【例9】（难度★★★）（新年华题库）AD∥BE，C是∠DAB和∠EBA的角平分线的交点.求证：AD+BE=AB在AB上取M使得AD=ＡＭ　所以：△ＡＤＣ全等于△ＡＭＣ所以易证：∠ＥＣＢ＝∠ＭＣＢ所以ＢＥ＝BM9所以命题得证【例10】（难度★★★★★）（08宣武二模）已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，∠BEF=，按图1放置，使

7、点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转，再联结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.图1图2图39课堂练习1、（难度★★★）（新年华题库）已知：如图，△