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1、4.示范教案（同角三角函数的基本关系） 同角三角函数的基本关系 整体设计 教学分析 与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin24π+cos24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得ta
2、nα有意义的值,即α≠kπ+ ,k∈Z.2 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.三维目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明. 2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化
3、简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.重点难点 教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用.课时安排1课时 教学过程 导入新课 思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,此展开新课.计算下列各式的值: sin60sin135(1)sin90°+cos90°;(2)
4、sin30°+cos30°;(3);(4). cos60cos1352 2 2 2 推进新课 新知探究提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角若不能,角α应受什么影响 图1 如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.勾股定理有OM2+MP2=1. 因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1). 显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+ ,k∈Z时,有2sina=tanα(等式2).cosa这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.②
5、对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值. 活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+ ,k∈Z.2②在上述两个等式中,只要知道其中任意一
6、个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切.应用示例 思路1例1已知sinα= 4,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.5 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-s
7、in2α=1-( 429)=.525又因为α是第二象限角,所以cosα0,因此cos280=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成. 2解:原式=1-sin(36080)=1-sin280=1-sin280=cos80°. 点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.变式训练 化简:1-2sin40c
