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1、第四届全国初等数学淫术交流会交流论文《多维分割论》之二——论平面对空间的分割祝有韬湖北省安陆市笫二高级中学邮编：432600以直线间相交所得“交点个数”为线索圆满解决了平面区域划分问题后现在我们再以平而间相交所得“交线条数和顶点个数”为线索解决平而分割空间所成区域个数问题.问题1：空间中冇n个平面，其中任两个不平行，凡两两相交者交线不平行，任四个不共点，任三个不共线.(为简便起见，本文称同时满足此四条为满足“最强条件J求其分割空间所得区域个数f(n).解：数列｛f(n)｝即｛2、4、8、15、26、・・・｝其一阶差列为
2、｛f(n+l)-f(n)｝=｛a„｝=｛2.4、7、11、•・・｝，其二阶差列为｛如-缶｝二｛2、3、4^…｝,成等差数列即有a2-ai=283—82=3ara3=4+)Hn3n1=门禹二&+5厂)二2+吟二=
3、n2+jn+l从而有f(2)-f(1)=aif(3)-f(2)=a2f(4)-f(3)=a3+)f(n)-f(nT)二亦71-1f(n)二f(l)+工务=2+寺出呼巴1+寺呼+(n-l)二心严)+警+i进而得1=1公式1：f(n)二c；+c；］+1定理(几何原理)：空间内满足最强条件的n个平面将空间分割成的区域
4、个数等于这些平面产生的交点个数c；与包括一个巨球面(可视为一个“平面”——“无穷远面”)在内的n+1个平面产生的交线条数的和再加1.不难验证，当n=0,1,2等值时，(只要规定“rVm时，=0)公式1都成立.用数学归纳法极易证明对nWN时命题恒成立.(为压缩篇幅此处证明从略)问题2：空间n个平面中，凡两两相交者其交线不平行，无四面共点，无三面共线，但有p组分别有g个平而平行(i=l>2、…、p,£叫Wn),求其分割空间所得区域个数f(n).解：显然与满足授强条件时相比，交线条数减少了工％,顶点个数减少了1=1pP£(<
5、+£心严)，故依“儿何原理”知，空间区域的个数减少了£(<+c打紅鳥,),/=11=1P则得公式2：f(n)=(c；+c；+】+l)-工(哦+玖+c辭爲)，/=1问题3：空间n个平面中，无二面平行，无四而共点，无三而共线，但其屮有q组分别q有nij个两两相交的交线平行(沪1、2、…、q,叫23,工叫S,求其分割空间所得区域j=i个数f(n).解：显然这时交线条数未变，而各两两相交的交线平行组中每三个而少产生了一个顶点,q即顶点个数减少了£4"依几何原理”得>=
6、'q公式3：f(n)=(+J=1问题4：空间n个平面中，无
7、二面平行，凡两两相交者其交线不平行，无三面共线，但其有s组分别有呱个平而交于Ak点(k=l>2、…、s,皿24,£加《Wn),求其分割空间所k=l得区域个数f(n).解：从只一组共m个平面共点考虑起.先设r(r^m)个共点平面将空间分割成&个区域(这里不妨增加“1,2,3等情形),则数列｛%｝即数列｛2,4,8,14,22,・・・｝,它是以ar=ar-!+2(r-1)为递归方程，內二2为初始值的数列，有然后逐一增加，考虑另外(n-m)个平面加入后的情形，有f(m)=2+2c；=(c>l)+(c>l)f(m+2)=f(m
8、+l)+(c：+2+1)f(m+3)=f(m+2)+(c；+3+•)+)f(n)=f[m+(n-m)]=f(n-l)+(c^+1)f(n)=2+2cw+cm+I+C,”2+5+3+•・・+"+(n-m)二2+5+c；+]+(n-m)(注①：第m+1个面与前m个血产生m条交线，由文一法知面am+i被分成+1个区域・••空间增加了c：+】+l个)经组合数的恒等变形得公式4：f(n)=(c；+c；i+1)-(c：+c：+]+l)+2(c：+1)经推广得有s组分别共点Ak(k=K2、…、s),其余皆符合“最强条件”的n个平面的
9、分割解,即有公式4,:f(n)=(£+丘+1)龙[(税+c爲+1)-2(哦+1)]②(注②：2(q；+l))式请参考(*)式理解成mk个共点组的分割解)其值为从f(叽ax屮减去各共点组当其不共点吋的分割解的和再加上因其共点而实际分割成的区域个数的和.问题5：空间n个平而中有t组分别有血个共总线创(1二1、2、…、t,且mi>3,£“W/=1n),其余(包括t组内不同组中的平面间)皆满足“最强条件”，求它们分割空间所成区域个数f(n).解：⑴先考虑仅只有一纽(共m个)共线的情形，m个共线面的分割数为2m,即f(m)=2m
10、,再逐一增加时，第m+i•个平而与FPJm+(r-l)个平而交于(m+「l)条交线(如图)，依线分割而法知此图中(m+r-1)条交线将第m+r个平面am+r分割成了[c^fn+r_x田+1]-(c^+l+1))+2m=rm+m+c；个部分，故加入平面um+r后空间个数增加了(r+1)m+c；故有f(m)=2mf(m+1)=f(m)
