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《赵莲清《电磁场》题解第一章矢量分析与场论基础题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章矢量分析与场论基础1-1求下列温度场的等温线1)T=xy,2)T=.1,X+)厂解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得r(1)xy=Cy=—；(2)x2+y2=Cx1-2求下列标量场的等值面1)u=!,2)u=z-Jx2+y2,3)u=ln(x24-y2+z2)ax+by+cz解据题意可得(1)ax+by+cz-k(2)z_JF+)“=c,x2+y2=(z-c)2(3)ln(F+》，2+z2)=c,X2+y2+z2=ec,x2+y2+z2=k21-3求矢量场A=g++2z®经过点M(1.
2、0,2.0,3.0)的矢量线方程。解根据矢量线的定义，可得—xy2z解微分方程，可得y=cxx,z=c2x2将点M(1.0,2.0,3.0)的坐标代入，可得c}=2,c2=3即j=2x,z=3x2为所求矢量线方程。1-4求矢量场A=y2xex--x2ye+y2zez的矢量线方程。解根据矢量线的定义，可得卑=卑=半y^xx^yy^z解微分方程，口J得x2-y2=c},z=c2x为所求矢量线方程。1-5w(M)=3x2+z2-2yz+2xz,求：1)w(M)在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿矢量
3、I=yxex+zxey+xye^方向的方向导数，2)u(M)在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿矢量I=(6x+2z)ex-2zey+(2z-2y+2兀)冬方向的方向导数。解Z的方向余弦为cosa=.=•=-j=,722+32+22V17a3322cosp=.=—；=,cosy=,=—；=；a/22+32+22V17722+32+22V17又有I=6x+2xz
4、忆=12,dudy=—2z
5、=_6,Modudz=2z-2y+2毗=4dud7duduqduC0S6^+—cosp+—%a/o血Modz
6、据方向导数的定义，可得12x2-6x3+4x214cosy=V171-6求标量场u=xy+yz+zx在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿其矢径方向的方向导数。解Z的方向余弦为cosa=,1==~^=,712+22+32V14心2233cosp=.=—；=,cos/=,=-=~^=;a/12+22+32V14Vl2+22+32V14又有5,du2他=x+zMo=4,duMo=3duducosa+—cosZ?+—dxdz据方向导数的定义，可得dudlcosy二5x1+4x2+3x3V1422V141
7、-7设有标量场u=2xy-z2,求u在点(2.0,-1.0,1.0)处沿该点至(3.0,1.0,・1.0)方向的方向导数。在点(2.0,-1.0,1.0)沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？解点(2.0,-1.0,1.0)至点(3.0,1.0,・1.0)的方向余弦为3-21COS6T=『==-,J(3_2)2+(1+1)2+(_]_1)23-1-123cosy=.J(3_2『+(1+1)2+(-]_1尸COS0=/…，=-7(3-2)2+(1+1)2+(-1-1)23du3/又有当dx据方
8、向导数的定义，可得_du「dxdududucosa%dy0+乎UZ—2xl+4x2+2x210cosy==—33%DJ当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G=-2ex+4ev-2ez方向导数达最大值，
9、G
10、=J(—2)2+4?+(―2尸=冋=2应1)u=2xy；2)«=x2+j2；3)u=exsiny；4)u=x2y3z4；5)u=3x2-2y2+3z2解据%=字匕+器襄z'可得dxdydz-1)二lyex+2xev2)Vw二2xex+2yey3)Vw=exsinyex+excosyev4
11、)=2xy3z4es+3x2y2z4ev+4x2y3z3e5)Vw=6xex-4yev+6ze,1-9求标量场u=xyz2-2x+x2y在点(一1.0,3.0,・2.0)处的梯度。解J-(yz2-24-2xy}ex+(xz2+x2]ey+2xyze.,则所求梯度为Wo=(12-2-6)ex+(-44-1>V+12乞二4ex-3ey+12乞1-10求标量场u(x,y)=3x2+b具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x2+y2=lo(提示：最大的方向导数就是在点(兀,刃处的梯度，模最大，且满足x2
12、+y2=l,即求条件极值。)解V”=尖乞+尖—=6®+2)s,
13、Vw
14、=J36x2+4y2,将y=±^!-x2代oxdy入，可得=』36兀2+4(1_兀2)~=丁32兀2+4,即[Vw]2=32x2+4,当x=±1>y=0吋，有卩此你=±6，即点(-1,0)和(1,0)为满足条件的点，又W
15、(_io)=-6乞，Vw
16、(i(j)=6ex,即最大方向导数的方向分别为±s1-11设厂=xex+yey+zez,r求Vr2,VrV/'(r),证明V(«.r)=a,(a是常矢量)V(r2)
