维开集、闭集、完备集的构造

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1、§2开集、闭集、完备集定义.若点集E的点都是它的内点,则称E为开集。例如，在平面上开集由定义可见,点集E是开集的充要条件是,E中每一点都存在一个邻域包含在E中。由E的内点全体所成的集称为E的内部,记为.显然E的内部是开集.此外,整个空间Rn与空集∅也是开集.E的边界点的全体称为E的边界,记作E;由闭集的定义不难看出：点集E为闭集的充要条件是EE.E为开集的充要条件是.无外壳者是开集有外壳者是闭集闭集例如，在平面上包含E的最小闭集称为E的闭包,记为。可以证明例如，R1的点集定理1.(1)恒为开集。(2)整个空间Rn与空集∅是开集。定理2.(1)恒为闭集。(2)整

2、个空间Rn与空集∅是闭集。证明：只证明(1)。若E′是有限集，则E′没有聚点,所以是闭集.若E′是无限集,设x0是E′的一个聚点,则对于x0的任意邻域N(x0),都含有E′中异于x0的点x,即x∈N(x0)是E的一个聚点,从而N(x0)含有E的无穷多个点,因而x0也是E的一个聚点,所以x0∈E′。因此E′包含自己的导集，从而E′是闭集.因,故这就证明了是闭集。Q.E.D.定理3.(1)E为开集的充要条件是E=Eo。充分性得证。(2)E为闭集的充要条件是。证明：(1)显然。(2)若,则由定理2知,E为闭集。若E为闭集,则EE′,从而Q.E.D.定理4.设E为空间Rn的子集。

3、则E为闭集当且仅当Ec=Rn-E为开集.证明：必要性。设E为闭集。任取x0∈Ec=Rn–E,则x0∉E。又因E为闭集,所以x0不是E的聚点。从而存在x0的一个邻域N(x0,δ)只含有E中有限个点：x1,x2,…,xk。因x0∉E,故这k个点异于x0。则ε>0。再由ε的取法，N(x0,ε)∩E=∅,即N(x0,ε)⊂EcEc=Rn-E是开集.令设Ec为开集.则对任意x0∈Ec,存在x0的一个邻域N(x0,ε),使得N(x0,ε)⊂Ec.即N(x0,ε)中没有E中的点,因此x0不是E的聚点.这表明E的聚点全部在E中,即E′⊂E.因此E为闭集.■充分性。设Ec=Rn-E为开集。定

4、理5(开集的基本性质)开集具有如下的性质:(i)任意个开集的并集是开集.(ii)有限个开集的交集是开集.证明:(i)设是任意一族开集.任取证明存在x0的一个邻域包含在中即可.(ii)设A1,A2,…,Ak是k个开集.任取证明存在x0的一个邻域包含在中即可.Q.E.D.定理7(闭集的基本性质)闭集具有如下的性质:(i)任意个闭集的交集是闭集.(ii)有限个闭集的并集是闭集.由DeMorgan公式,得注意,任意个开集的交集不一定是开集.Q.E.D.定理9若E是Rn中的开集,F是Rn中的闭集,则E-F是开集,F-E是闭集。证明：E-F=E∩FcF-E=F∩EcQ.E.D.定理10

5、(Borel有限覆盖定理)设F是一有界闭集，被一族开集所覆盖(即),则总可以从这族开集中选出有限多个开集U1,U2,…,Um,来覆盖F，即证明：略。Q.E.F.例：Cantor集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集.(1)第一次去掉的开区间是在闭区间[0,1]中20个开区间(2)第二次去掉的开区间是21个开区间(3)第三次去掉的开区间是……………..22个开区间(n)第n次去掉的开区间是…………………………2n-1个开区间…………………………记则Cantor集开集闭集G的长度E的长度注：第一次次去掉开区间后剩下的闭区间21个闭区间第二次去掉开区

6、间后剩下的闭区间22个闭区间…………………………记…………………………每个闭区间长度每个闭区间长度则E也可表示为1oCantor集E是一非空闭集,即EE′.结论:2oCantor集E是一自密集,即E⊂E′.3oCantor集E是一完备集,即E=E′.一个集合A,如果它的闭包不包含任何邻域,则称为是无处稠密的(这时也称A为疏朗集、离散集)。4oCantor集E是一疏朗集.5oCantor集E具有连续统基数,即它是不可数的.6oCantor集E是一零测度集.一个集合A是疏朗集当且仅当其内部Ao=∅。证明：1o前已证.2o由Cantor集的定义,在第n次删除2n-1个开区间后,

7、其长度都为.剩下的2n个闭区间于是3o由1o和2o即得.4o为证E是疏朗集,只需证明Eo=∅.5oCantor集E具有连续统基数,不证。可参看那汤松著实变函数论.6oCantor集E是一零测度集.构造Cantor集E时从[0,1]中去掉的那些开区间的长度之和为1.Q.E.D.我们已知,任意个开集的并集是开集,但任意个开集的交集未必是开集;任意个闭集的交集是闭集,但任意个闭集的并集是未必是闭集。于是我们给出如下定义定义可数个闭集的并集,称为Fσ-型集.可数个开集的交集,称为Gδ-型集.注：Fσ-型集未必是闭集,Gδ-