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1、19.4综合与实践：多边形的镶嵌大顾店中学数学备课组主备人：邹军李青松何玉柱学习目标1、了解平面图形镶嵌的含义，掌握一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计。2、经历探索多边形镶嵌的过程。3、体会平面图形在现实生活中的广泛应用。预学检测1、本节课主要学习那些内容？2、你认为本节课的重点内容是什么？3、你对哪些内容有疑问？这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么？平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。拼一拼选一选小明家装修地板,在正三角形
2、,正方形,正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择?6600900108012004334能镶嵌能镶嵌不能镶嵌有空隙能镶嵌60×6=3600090×4=36000108°×3<360°108×4＞36000120×3=36000不能镶嵌有重叠实验结果正n边形拼图每个内角度数多边形个数结果n=3n=4n=5n=6规律:当正多边形的一个内角度数的整数倍是360°时，这种正多边形就能镶嵌.思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点
3、处的K个正多边形的K个内角和应等于而正n边形的每个内角的度数为,所以,可得方程整理,得K(n-2)=2n,所以因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.360°,这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择:正三角形,正方形和正六边形.问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。结论想一想如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢?解：
4、设每个顶点周围有x个正三角形和y个正四边形,则:60°x+90°y=360°即:2x+3y=12又x、y是正整数,解得:x=3,y=2.即每个顶点处用正三角形的三个内角,正方形的两个内角进行拼接.正三角形和正方形的平面镶嵌正多边形拼图正三角形和正六边形m×60°+n×120°=360°2×60°+2×120°=360°4×60°+1×120°=360°解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形,60°m+120°n=360°,即:m+2n=6，又m、n是正整数,解得:即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两个正三角形和两个
5、正六边形.更多的两种正多边形的镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正八边形与正方形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°,这两种正多边形就能镶嵌.结论你能用三种边长相等的正多边形设计一个图案吗？试试吧!请你来当设计师三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？解：设正多边形的边数分别为m、n、tm(m−2)180°n(n−2)180°t
6、(t−2)180°++=360°3−2（++）=2m1t1n1m1++=n1t121如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？1、平面镶嵌的定义.2、正多边形平面镶嵌的条件.3、关注身边的数学,关注数学中的美.小结镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌之父M.C.埃舍尔是荷兰的现代版画艺术家、“图形艺术家”，他是一个将艺术与数学融合的画家，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他
7、为“镶嵌之父”。。埃舍尔的作品欣赏生活中，墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的，用长方形（矩形）进行镶嵌设计，怎样设计图案最漂亮？错位镶嵌资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。资料1：石子路镶嵌图案最多的园林在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的园林了。这些石子路图案的组成，是把
8、全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，
