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《解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“恒成立”问题的常见类型及一般解法陕西蓝出县城关中学靳小平恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的许多方而，渗透着换元、化归、构造函数，分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，体现着在变化中把握不变量的数学特征，冇利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试屮被广泛采用.木文试图列举、归纳恒成立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法.1.恒成立的常见表述形式：对于任意实数兀丘£>,/(兀)>0恒成立；对于任意实数xeD,都冇/(%)>0；对于任意实数xeD，总有/(
2、x)>0；对于一切满足条件……的实数•都有/(%)>0；比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题，例如已知函数f(x)=-3x2+a(6-a)x+h,若/(%)=0冇一根小于1,另一根大于1,且b〉-6,求实数。的值；木例可转化为“对于任意实数b>-6,都有/⑴>0,求实数。的值”而与此相对的是若/(x)=0有一根小于1,另一根大于1,当b>-6,且b为常数时，求实数d的取值范围。如此则不是恒成立问题，相当于对于满足条件/(I)>0,且常数b>-6时，求(与b相依的)实数。的取值范围.2.含单参数的恒成立问题
3、的基本类型和一般解法2.1与函数定义域有关的简单恒成立问题与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍，解题通法当是直接法解决，至关重要的是把握等价关系即充分必要条件.例1・(2007年高考重庆卷理科第13题)若函数/(x)=丁2心心_i的定义域为R,则g的取值范围为解析：依题意,2?-2^-"一1n0,兀W/?o2x2-2ax-(,>l,xe/?<=>2x2-2^-u>2°,xgRox2-2ax-a>0,xwRo△二4tz2+4d<0o-lWdW0故a的取值范围是aw[-1,0]r2例2.设函数/(兀)=——，
4、其屮g为实数.x~ax+a(I)若/(X)的定义域为心求G的取值范围；(II)当/(X)的定义域为/?时，求/(X)的单减区间.解析：(I)依题意x+ot+qh0,兀w/?oA=d「一4av0o0vdv4故。的取值范围是*(0,4)(11)(略)例3.已知函数y=lg(ax2+^+2)(I)若其定义域为R,则a的取值范围是？(II)若其值域为R,则a的取值范围是？解析：(I)函数定义域为R0[a>0oax^+o¥+2〉0,xw/?og=0或0d=0或2oO
5、Va<80ajc2+ax+2>0<^>[a>^<^>[<^>a>S[A>0[a2-8a>0在例3(II)中函数值域为R,即对任何有意义的x,函数值恒为实数，其充要条件是祇2+血+2〉0(而不是大于某正数)，即[。>°・[A>02・2・与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题这类恒成立问题的一般分为两类：可直接分离参数的：解法可概括为四步：第一步，分离参数；第二步，不等式一边函数化；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小(形象地说是“擒贼先擒王”).第二
6、类：不便于直接分离参数的，解法是：第一步，分离常数项；第二步，代数式一边函数化(构造函数)；笫三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小.V3"22例4.设/(%)=—,对任意实数/，记gt(x)=t3x-—t.JJ(I)求函数y=f(x)-g^x)的单调区间;(II)求证：①当兀>0时，/(x)>gz(x)对任意正实数/成立；②冇且仅有一个正实数兀()，使得gQo)>g/(x())对任意正实数/成立.解析:(I)略(II)证明:①X3-2当x>0时，f(x)>g,(x)对任意止实数f成立
7、o兀>0,tyx+-t>0对任意正实数/恒成立ox〉0时，k{x)>0对任意正实数/恒成立Y329而令k(x)=t3x+—t,332k(x)=x2-tiI解g)=0得*=卢或兀=/(舍去)%G(0,*)时力(X)<0,£(兀)为减函数;"(八,+00)吋”(X)>0,k(x)为增函数1t2•••R(X)min=k{t3)=-~t+-t=Q证明：②&(兀。)》£(观)对任意正实数艸亘成立o4兀-丄n心-？(对任意正实数卅亘成立I2
8、6<=>r3x-4x—r+—<0对任意正实数r恒成立33令//(/)二/x
9、-4x--r+—33h'(t)=————=—(——1),解hr(t)=O得r=x33t333Pxe(0,x3)时ht)>0,/?(r)为增函数;xe(x3,+oo)时ht)0"（兀）为增函数x€（0,2）时（px）<0,0（兀
