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《高考数学二轮专题复习-立体几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第2讲矩阵与变换【考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等.从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力•分值为1（）分.瞄准髙考主干•知识梳理1.矩阵乘法的定义-般地，我们规定行矩阵［51，62］与列矩阵［方］的乘法规则为［On，C712］'b.C」21・=[011511+012/>21]，ax+by■cx+dy^说明：矩阵乘法MN的儿
2、何意义为对向量的连续实施的两次儿何变换（先从后弘）的复合变二阶矩阵abccL与列矩阵的乘法规则为［::换.-般地，对于平面上的任意一个点（向®）（x,刃，若按照对应法则7；总能对应惟一的一个平J」面点（向量）（*,昇），则称厂为一个变换，简记为八（X,尹）,昇）或八2.儿种常见的平血变换⑴恒等变换；⑵伸缩变换；（3）反射变换:（4）旋转变换；（5）投影变换；（6）切变变换.3.矩阵的逆矩阵⑴逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵力，B,若有AB=BA=E,则称力是可逆的，〃称为力的逆矩阵.若二阶矩阵/存在逆矩阵B,则逆矩阵是唯一的，通常记力的逆矩阵为（2）逆矩阵的求法-般地，对
3、于二阶可逆矩阵力=d.（ad-be工0）,它的逆矩阵为/Tdad—he—bad—be_ad—bcaad—bc-⑶逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵〃均存在逆矩阵,则也存在逆矩阵,且3〃尸=矿匕=②己知4B,C为二阶矩阵，.几4»=/（7,若矩阵/存在逆矩阵，则B=C.（4）逆矩阵与二元一次方程组ax+by=nit对于二元一次方程组I」c兀十dy=n£］看成是经过系数矩阵A=W—bcHO),若将X=［；］看成是原先的向屋，而将B*in—-Cd.阵方程AX=B,ad~be则X="'B,其中A~[=ad—he—bad—beaad—he(ad-bc^O)对应变换作川后得到的向量，则
4、町记为矩uj1.二阶矩阵的特征值和特征向量⑴特征值与特征向量的概念设M是一个二阶矩阵，如果对于实数儿存在一个非零向量©使得Aa=Aa,那么久称为力的一个特征值，而么称为力的一个属于特征值2的一个特征向量.(2)特征向量的儿何意义特征向量的方向经过变换矩阵/的作用后，保持在同一条总线上，这时特征向量或者方向不变(2>0),或者方向相反*0),特别地，当久=0时，特征向量就被变成了零向量.(3)特征多项式设久是二阶矩阵力=b~d_的一个特征值，它的一个特征向量为则/**4=x满足二元一次方程组ax+by=AX,cx+dy=Xy^(A—a)x~by=0,—cx+(X—d)y
5、=0.(*)由特征向量的定义知(zH0,因此x,y不全为0,此时2=0,A-0,因此，若要上述二元A~a—b一次方程组有不全为0的解，则必须有D=(),即“7=0.~ca—a定义：设/=b~］k~a讣是一个二阶矩阵，心，我们把彳丁列式妙=~bX~d=)?—{a+d)X+ad~bc.称为力的特征多项式.(4)求矩阵的特征值与特征向量于是，非零向量即如果久是二阶炬阵/的特征值，则人一定是二阶矩阵力的特征多项式的一个根，它满足/U)=0.此时，将久代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非零解为/的属于2的一个特征向量.热点•分类突破解析高考热点一常见矩阵变换的应用【例11
6、已知曲线C：xy=.⑴将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45。后，求得到的曲线C'的方程;⑵求曲线C的焦点处标和渐近线方程.解（1）设P（XoTo）是曲线C：xy=lh的任一点，点P（Xq,为）在旋转变换后对应的点为P'Xo3o）,则x（）Jo」「返2=返L2cos45°_sin45°・2返2-sin45°Tx（）_
7、cos45。丄尹（」o"2A°"27°，+<（）_2x（）2^°1o+y（）-x0）r（））•又XqVo=1o+x‘・・・_/&6=2，即曲线C：号二1旋转后所得到的曲线C'的方程为尸・X2=2.⑵曲线C的焦点坐标为F,（0,・2）,F2（0,2）,渐近线方
8、程为y=±x.再顺时针旋转45。后，即可得到曲线C的焦点坐标为（■也，-迈）和（也，迄）；渐近线方程为兀二（）—=（）.思维升华把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解・12变式训练1（2013-福建）已知肓线/：ax+y=在矩阵/=对应的变换作用下变为肓线Lo1JV:x+by=l.⑴求实数Q，〃的值;（2）若点P（x0,必）在肓线/上,Xo求点P的坐标.Jo」解⑴设直线/加+厂1上任意点M（xy）在矩阵力对应的变换作用下的像是Mf（xf沪）.rtX——■12—~x+2y，得Ly」_
