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《高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率—递推法解排列、组合、概率问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率一递推法解排列、组合、概率问题一、an=p-an-^q型【例1】某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，己知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的11?概率都是专，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是刍出现绿灯的概率是刍若前次出现绿灯，则32下次岀现红灯的概率是?，出现绿灯的概率是F记开关第n次闭合后出现红灯的概率为几.⑴求：P2；（2）求证：几V咖2）；（3）求limPlt.解析：（1）第二次闭合后出现红灯的概率巴的大小决定于两个互斥事件：即笫一次红灯后第二次又是红灯；笫一次绿灯后笫二次才是红灯.于是P2=P
2、^+（1（2）受（1）的启发
3、，研究开关笫/V次闭合后出现红灯的概率几，要考虑笫,7—1次闭合后出现绿灯的情况,有P尸几-占+（1-几-1）・再利用待定系数法：令几+尸一春（几-1+兀）整理可得X=-^904・・・｛P厂詡为首项为（P1—希、公比为（一寺的等比数列备們―誇）（—尙宀金（—尙几帶事（—令厂9
4、
5、・•・当n>2时‘几甸+元巧9⑶由⑵得lim人卞.“T81y【例2】A.B两人拿两颗骰了做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数Z和为3的倍数时，则由原掷骰了的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为⑴求巴；⑵求前4次抛掷小甲恰好掷3次的概率.解析：第次由A掷冇
6、两种情况：12①第几一1次由A掷，第八次继续由A掷，此吋概率为至巴一“②第八一1次由B掷，第八次由4掷，此时概率为（1—昔）（1—P”-］）.•・•两种情形是互斥的(«>2),又巴=1・・・｛代一*｝是以*为首项，一*为公比的等比数列.即P启+*（—分二、aH+i=p-an+f（n）型【例3】（传球问题）A、B、C、£>4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后,球仍回到A手中，则不同的传球方式冇多少种？若有n个人相互传球R次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心
7、，而建立递推数列模型则可深入问题本质.4人传球时，传球k次共有3*种传法.设笫k次将球传给A的方法数共有心伙WN*）种传法，则不传给A的有3f种，故山=0,且不传给A的下次均可传给A,即ak+]=3k—ako两边同除以3k+l得岁*•学+*,令b总,贝仏=0,加+]—
8、=一*（加一土），则1•••母T)当k=5口寸,°5=60・当人数为斤时，分别用n-L料取代3,4时，可得d厂";J+专（一1）2【例4】（环形区域染色问题）将一个鬪环分成77（用小，必3）个区域，用加（腔3）种颜色给这Z7个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？分析
9、：设给表示n个区域染色的方案数，则1区有m种染法,2区有m-1种染法,3,……,n-1,/I区各有加一1种染色方法,依乘法原理共有加（加一1）”7种染法，但是,这些染中包含了71区可能和1区染上相同的颜色.而介区与1区相同时，就是料一1个区域涂上加种颜色合乎条件的方法.・*.atl=m（m—1）nay=m（m—1）（m—2）atl—（7?i—1）n=—[an-1—（m—1）n】]三、如曰“呎兀）型【例5】（结草成环问题）现有〃（/7WN*）根草，共有加个草头，现将加个草头平均分成斤组，每两个草2n-l2”头打结，求打结后所有草能构成一个圆坏的打结方法数分析：将加个草头平均分成n组，
10、毎两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=an.将草头编号为1,2,3,In—1,2n.草头1可以和新草头3,4,5,......,2n-l,2n共2n~2个新草头相连,如右图所示.假设1和3相连，则与余下共n~条相连能成圆环的方法数为q厂］./•afl=(2n—2)an-,(z?>2,a=,得上"--2几_2给一1'^a=(2n—2)(2/?—4)2x1=25—1)!变式游戏：某人手中握有2H（«e/V*）根草，只露岀两端的各自加个草头，现将两端的加个草头各口随机平均分成n组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆坏的概率.
11、2n-2n■)2c2c分析：两端的加个草头随机两个相连不同的方法数为/V=（—能够构成圆环的连接方法分两步:第一步，先将一端的加个草头平均分成斤组，每两根连接起来，得到〃组草，认为得到屛艮噺草J连接方法数叶叔22n^2n-2C；信号源第二步，将另一端的加个草头平均分成卅组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数加2=2"T（“一1）!.•••所求的概率几_需2_（"_器2加I变式：（江苏）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器少信号源在同一个串联线路中时，就
