信号时频分析-讲义

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1、从Fourier分析到小波分析1Fourier分析所有客观存在的事物都包含着大量标志其木身所存的吋间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况吋，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随吋可听到的语咅信号，随吋可看到的视频图像信号，发电机组运行吋的温度信号和振动信号等。的映射关系为Fourier变换：x(q)=[x⑴dtJ-00反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier变换:x(r)=」一dco2TC8对一个给定的信号或过程，如兀(/),我们可以用众多的方法来描述它

2、,如垃)的函数表达式，通ilFourier变换所得到的兀⑴的频谱，即如,再如班/)的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法屮，冇两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier变换和反Fourier变换作为桥梁建立了信号兀(/)与其频谱x(^)Z间的一对一映射关系，从时域到频威(1-1)(1-2)Fourier变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复朵的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复朵现彖提供了一种有效的途径，一•些在时域内难以观察的现彖和规律，在频域内往往能I•分清楚地显示岀来。Fourier变换和反Fourier变换属丁•整体或全

3、局变换，即只能从整体信号的吋域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的吋域表示。也就是说频谱的任一频点值都是由时间过程兀(0在整个吋域(-00,00)±的贡献所决定；反之，过程兀⑴在某一吋刻的状态也是由其频谱双0)在整个频域(-00,00)上的贡献所决定。也就是说，兀⑴在任何时刻的微小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程x(r)o因此，Fourier变换建立的只是一个域到另一个域的桥梁，并没冇把时域和频域组合在一起，所以频谱双⑵)只是显示了信号x(/)屮各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关图2.1信号兀1(。和兀

4、2(。图2.1中的两个信号%i(0＞兀2(。可很好地说明Fourier变换的局限性,它们的时域表示如下：X](/)=sin(6加)+sin(l2加)+sin(l8加)0<^<4^兀2^=2sin(6加)+sin(12加)sin(12^r)+2sin(18^r)0

5、^(^)

6、2(b)

7、&(砂2图2.2信号无1(/)和兀2(r)的频谱图2.2是这两个信号的频谱

8、£

9、(劲仁

10、i2(^)

11、2,显然这两个不同的信号有相同的频谱，这说明Fourier分析不能将这两个信号区分开。2短时Fourier分析2.1基本定义为了克服Fourier变换不能同吋进行时间一一频率局域性分析的缺点，因发明全息照相技术而获诺贝尔奖的GaborT*1946年提岀了短时Fourier变换(STFT)o短时Fourier变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短吋平稳信号的叠加，而短吋性则是通过吋间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier变换，定义如下：STFT,GQ)=[兀⑴巩/一门厂"加(2-6)式中g⑴是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。随着厂的不断

12、变化，由g所确定的窗口在时间轴上移动，使分析信号兀⑴逐步进入被分析的状态，因此该变换反映了信号兀⑴在时刻为厂、频率为co的分量的相对含量。Gabor采用Gauss函数ga(t)(式2・7)作为分析窗函数，因此用Gauss函数作为窗函数的短时Fourier变换也称Gabor变换Gx(co,r)。Gauss函数是紧支的，它的Fourier变换也是Gauss函数爲(0)(式2.2-8),从而保证了Gaboi•变换在时域和频域都具有局域化功能。(2-7)(2-8)图2.3Gauss函数g,。及其Fourier变换ga(c°)可以证明，对于Gabor变换，式2・9是成立的(2-9)[Gx(co,T)d

13、r=x(69)(2-H)这说明信号兀⑴的Gabor变换按窗口宽度精确地分解了兀⑴的频谱双⑵)，捉取了它的局部频谱信息，当厂在整个时间轴上平移时，就给出了兀⑴的完整的Fourier变换，因此没冇损失兀⑴在频域上的任何信息。£

14、x(r)

15、加=*££1STFTge)

16、2dcodT(2-10)在归一化条件下，即£

17、x(Z)

18、v/r=l,短吋Fourier变换是可逆的，其逆变短时Fourier变换是能量守恒变换，对于任