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1、等价转换问题若x、y、z£R+且x+y+z=l,求(丄—1)(1)(1)的最小值。xyz【分析】由已知x+y+z=1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x+y+z,或者运用均值不等式后含X"的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。1111【解】(一一1)(——1)(一一1)=——(1-x)(1-y)(1-z)xyzxyz=(1—x—y—z+xy+yz+zx—xyz)=(xy+yz+zx—xyz)xyzxyziiirr33=—I1123孑1=.—1N1=9xyzxyz冷xyz兀+_y+z3【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最
2、后拆分。将问题转化为求丄+x丄+丄的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代yz数式在形变中保持值不变。例2.设x、yWR且3x?+2y2=6x,求x2+y2的范围。【分析】设k=x2+y2，再代入消去y,转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。英中要注意隐含条件，即x的范围。【解】由6x-3x2=2y2>0得0WxW2。设k=x2+y2,则y2=k—x2,代入已知等式得：x2—6x+2k=0,1.即k=x+3x,其对称轴为x=3o2由0WxW2得kw[0,4]。所以x2+y2的范围是：0^x2+y2^4o【另解】数
3、形结合法(转化为解析几何问题)：2由3x2+2y2=6x得(x—1)2+号=1,即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。2x2+y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x2+y2=k,代入椭圆小消y得X?—6x+2k=0o由判别式厶=36-8k=0得k=4,所以x2+y2的范围是:0^x2+y2^4<»【再解】三角换元法，对己知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题)：0卜一1=COS6T由3x2+2y2=6x得(x—1)$+丄厂=1,设<品,贝Ury=—sin
4、a2〔2331x~+y~=l+2cosa+cosaH—sirTa=12cosacos~a222125rn=cosa+2cosaHG[0,4J22所以x2+y2的范围是：O^x2--y2^40【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了英它问题，属于问题转换题型。仮！J3求值：ctglO°-4cosl0°【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。.,.cos10°coslO°-4sinl
5、0°cos10°【解一】ctglO°—4cosl0°=4cosl0°=.sin10sin10_sin80°-2sin20°_sin80°-sin200-sin20°_sin10°_sinlO02cos50°sin30°-sin20°sin40°-sin20°2cos30°sin10°sin10°sin10°sin10°V3（基本过程：切化弦一通分一化同名一拆项一差化积一化同名一差化积）.匕.coslO°coslO°-4sinl0°cos10°【解二】ctglO°—4cosl0°=4cosl0°=sin10°sinlO0sin80。_2sin20。2•*s
6、in80。_2sin20。sin10°sin10°_2cos60°sin80。-2sin20°_sinl40°-sin（-20。）-2sin20°sin10°sin10°sin140°-sin20°sin10°2cos80°sin60°sinl0°=V3（基本过程：切化弦一通分一化同名一特值代入一积化和〜差化积）【解三】ctgl。。-4込山=竺將-4^10。=如0。-4si：fcosiersin10sin10sin80°-2sin20°sin(60°+20°)-2sin20°sinl0°sin10°]j—cos20°+—sin20°-2sin20°V3(
7、—cos20°-—sin20°)22=22sin10°sin10°V3cos(60°+20°)r-sin10°=（基本过程：切化弦一通分一化同名一拆角80°-和差角公式）【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是:切割化眩、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此,我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。例4.
8、已知f(x)=tgx,xE(o,3T2若X]、x2e(0,1X求证：-[f（X1
