解题--换一种角度思考排列组合问题-朱松

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1、编辑出版:数学教学研究杂志编辑部主办:西北师范大学出版周期:月刊出版地:甘肃省兰州市换一种角度思考排列组合问题朱松(江苏省灌云县杨集高级中学,222221)很多“数数”问题的解决,如果能跳出题设所限定的“圈子”,根据题目的特征换一种角度去构思分析,从而使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局.一、具体向抽象的转换【例1]某人射击7枪,击中5枪,问击屮和未击中的不同顺序情况有多少种?分析设击中用"1”表示,未击中用“0”表示,那么我们考虑的问题就转化为下列问题:数列4、勺、。3、。4、。5、。6、如中冇5项是1,两项是0,不同的数列数冃冇多

2、少个?解本题只要在7个位置选岀两个位置安排“0”(或选出五个位置安排“1”)就完成这件事情。故有C;(或C;)种。所以,击中和未击中的不同顺序情况有21(种).练习某城市的交通道路如图,从城市的东南角A到城市的西北角B,经过十字道路维修处C,最近的走法种数冇多少种?C二、不同数学概念之间的转换【例2]连结正方体8个顶点的肓线中,为异面肓线的有多少对?分析:正面求解或反面考虑(利川补集)虽然可行,但容易遗漏或重复.注意到这样一个事实,每一个三棱锥对应着3对异而肓线,因而转化为8个顶点可以组成多少个三棱锥?解从正方体的8个顶点中任取4个,

3、有C;种収法,其中4点共而的有12种(6个表而正方形,6个对'用面长方形).将不共面的4点构成一个三棱锥、共有C:-12个三棱锥,每个三棱锥确定了3对异而直线,因而共有N=3(C:-12)=174对异面直线.三、情景迁移的转换【例3】在(x2+3x+2)5的展开式中兀的系数为()A.160B.240C.360D.800分析本题表面看,题目并非要求“数数”,但如果我们将情景迁移,便可转化为“数数”问题,解由题意,不妨将(x~+3x+2)>=(x~+3x+2)(x~+3x+2)(x2+3x+2)(%"+3x+2)(x~+3x+2)看作是五

4、个相同的口袋,每个口袋都装有三个不同颜色的球:兀2、3兀、2;依次记为黑、白、红球,于是可得下面的做法:先从五个口袋中的一个口袋IUHI-个白球(3x),有C;种取法,然后从乘下的四个口袋中各取出一个红球(2),有C:种取法,则得含x的项为C;・3qC:・2・2・2・2,其系数为3-C;-24=240,故选B.拓展:利用此法可准确、迅速地解决如下列一般的问题:(仮+by+cz)”展开式中含-yk-zl项的系数(其屮加+£+心〃)是C;;C_mambkcl.在这里,精巧的构思转化发挥了令人振奋的作用.四、分解(分组)转化【例4】从集合

5、{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}中任取3个元素作为直线ax+by+c=0中的a,b,c,其中a>b>c,那么不同的直线共有多少条?解:考虑到ka:kb:kc=a:b:c{keN),构造行列表如下:第1行:123456789101112第217:24681012第3行:36912易知第2、第3行中任三数作出的直线必•第1行中对应的三个数作出的直线相同,故不同的直线共有«-。七=196条・五、数与形的转化【例5】疋用>25设人={一8,-6,-4,-2,0丄3,5,7,9},从A中任取两个元索作为虚数a+hi的实部

6、和虚部(心b),则能组成模人于5的不同虚数的个数为多少?解由题设知H.a^byb^O;根据复数模的几何意义,结合补集思想,只需求出以0为圆心,5为半径的圆上及圆内以A屮元素为横纵坐标的点的个数,然后从A屮所有元素组成的不同复数对应的点中去除即可.如图所示,圆内及圆上的点有C:C;+5=17(个)(不含实轴上的5个点).2则圆内圆外及圆上共有CjC*=81(个)点(不含实轴上10个点),所以,满足题设的虚数共有C;C;-(C;C;+5)=64(个).ISSN:1671-0452《数学教学研究》2011年第08期编辑出版:数学教学研究杂志

7、编辑部主办:西北师范大学出版周期:月刊出版地:甘肃省兰州市

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