数据结构第06章树

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1、第六章树树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构6.1树的定义定义定义：树(tree)是n(n>0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：树中至少有一个结点——根树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树树的表示方式基本术语结点(node)——表示树中的元素，包括数据项

2、及若干指向其子树的分支结点的度(degree)——结点拥有的子树数叶子(leaf)——度为0的结点孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~兄弟(sibling)——同一双亲的孩子树的度——一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……深度(depth)——树中结点的最大层次数森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合ABCDEFGHIJKLM结点A的度：结点B的度：结点M

3、的度：叶子：结点A的孩子：结点B的孩子：结点I的双亲：结点L的双亲：结点B，C，D为结点K，L为树的度：结点A的层次：结点M的层次：树的深度：结点F，G为结点A是结点F，G的320B，C，DE，F314K，L，F，G，M，I，JDE兄弟4堂兄弟祖先兄弟6.2二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态A

4、只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质性质1：证明：用归纳法证明之i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有j(1j

5、1证明：n1为二叉树T中度为1的结点数因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2所以：其结点总数n=n0+n1+n2又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入设B为分支总数，则n=B+1又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1实际意义：叶子数＝2度结点数＋1几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中

6、编号从1至n的结点一一对应时，称为~特点：叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其左分支下子孙的最大层次必为L或L+1性质性质4：1231145891213671014151231145891267101234567123456判断是否是完全二叉树性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：(1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2(2)如果2i>n，则结点i无左孩子；如

7、果2in，则其左孩子是2i(3)如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1在此过程中，可以从（2）和（3）推出（1），所以先证明（2）和（3）。对于i＝1，由完全二叉树的定义，其左孩子是结点2，若2>n，即不存在结点2，此是，结点i无孩子。结点i的右孩子也只能是结点3，若结点3不存在，即3>n，此时结点i无右孩子。对于i>1，可分为两种情况：（1）设第j（1<=j<=[log2n])层的第一个结点的编号为i，由二叉树的性质2和定义知i＝2j-1结点i的左孩子必定为的

8、j＋1层的第一个结点，其编号为2j＝2×2j-1＝2i。如果2i>n，则无左孩子：其右孩子必定为第j＋1层的第二个结点，编号为2i＋1。若2i+1>n，则无右孩子。（2）假设第j（1<=j<=[log2n])层上的某个结点编号为i（2e(j-1)<=i<=2ej-1),且2i＋1