正态分布及其应用(2)

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1、医学统计学王友洁emailwangyoujie@mails.tjmu.edu.cn正态分布及其应用Normaldistribution主要内容正态分布的概念及其特征标准正态分布医学参考值范围及其制定一正态分布(normaldistribution)某地140名正常男子红细胞数的频数表红细胞数频数频率(%)累积频率(%)3.80～21.41.44.00～64.35.74.20～117.913.64.40～2517.931.54.60～3222.954.44.80～2719.373.75.00～17

2、12.185.85.20～139.395.15.40～42.998.05.60～21.499.45.80～6.0010.7100.0合计140-100.0140名正常男子红细胞计数的直方图频数f红细胞数X频率密度频率/组距直方图形状相同，使各直方的面积相应于频率，其和为1（100%）某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图一、正态分布(NormalDistribution)频率密度正态分布的概念又称为Gauss分布（Gaussiandistribution）。当原始数据的频数分布图的观察

3、人数逐渐增加且组段不断分细时，图中的直条就不断变窄，其顶端则逐渐接近于一条光滑的曲线。这条曲线形态呈钟形，两头低、中间高，左右对称，近似于数学上的正态分布。在处理资料时，我们就把它看成是正态分布。正态分布曲线的数学函数表达式如果随机变量X的分布服从概率密度函数则称X服从正态分布，记作X～N(μ,σ2),μ为X的总体均数，σ2为总体方差正态分布有两个参数：和，分别表示均数和标准差。二、正态分布的特征钟型曲线，以μ为中心，左右完全对称，两端与X轴永不相交在X=μ处，f(X)取最大值，X越远离μ，f(

4、X)越小。曲线下面积分布有规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1或100%；区间μ±σ的面积为68.3%,区间μ±1.96σ的面积为95%,区间μ±2.58σ的面积为99%.两个参数决定位置和变异：μ和σ图3-2正态分布曲线下的面积图3-3三种不同均值的正态分布两个参数决定位置和变异是位置（即平均水平）参数，决定分布曲线在横轴的偏倚位置σ是变异参数，决定分布曲线的形态图3-4三种不同标准差的正态分布正态分布是一个分布族，对应于不同的参数和会产生不同位置、不同形状的正态分布。sm为了应用方便，令：二、

5、标准正态分布(StandardNormalDistribution)对任何参数的正态分布，都可以通过一个简单的变量变换化成和的标准正态分布。通常，可以利用标准正态分布表求出与原始变量X有关的概率值。此变换也称为标准化变换，或称Z或u变换图3-5标准正态分布及曲线下面积标准正态分布Z的概率密度函数为即将X~N(μ,σ2)的正态分布转化为Z~N(0,12)的标准正态分布，Z称为标准正态变量，其分布函数为根据上述公式制成附表1，欲求一定区间标准正态分布曲线下的面积只需查表即可，且φ(z)=1-φ(-z

6、)φ(z)例：已知X服从均数为μ标准差为σ的正态分布，试估计：（1）X取值在区间μ±1.96σ内的概率；（2）X取值在区间μ±2.58σ内的概率。求X取值在相应区间内的概率，首先要确定区间两端点所对应的Z值查表，得φ(-1.96)=0.025，则Z取值在（-1.96，1.96）的概率为0.95，即X取值在区间μ±1.96σ内的概率为0.95。95%99%例3-1：正常成年男子的红细胞计数近似服从正态分布，假设均值为4.78×1012/L，标准差为0.38×1012/L，试估计红细胞数在4×1

7、012/L以下所占的比例。先将4（×1012/L）变换为相应的μ值，即于是问题就转化成为求标准正态分布Z值小于-2.05概率。查附表1得φ(-2.05)=0.202，表明成年男子的红细胞数低于4×1012/L的人约占总体的2%。求出在4×1012/L~5.5×1012/L范围内所占的比例即求P(4.0≤X≤5.5)例3-2上节课的例题中已计算出101名正常成年女子的血清总胆固醇均数为4.03mmol/L，标准差为0.659mmol/L。试估计该单位：正常成年女子血清总胆固醇在4.00mmol/L

8、以下者占正常女子总人数的百分比；在4.00~5.00mmol/L之间者占正常女子总人数的百分比；在5.00mmol/L以上者占正常女子总人数的百分比。由于此例样本含量较大，可用样本均数、标准差代替总体均数和标准差查附表1得φ(-0.05)=？，如何求φ(1.47)?三、正态分布的应用正态分布除了可估计频数分布外，还是许多统计方法的基础，并可应用于质量控制及制定医学参考值范围。一、基本概念医学参考值：通常指包括绝大多数正常人的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等各种生理生化指标常数。医学参