欢迎各位同学来到数学分析课堂

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1、欢迎各位同学来到数学分析课堂！绪论一、什么是数学世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。（牛顿、莱布尼兹认为数学成为研究运动与变化的学问，19世纪，恩格斯提出这样的定义）“空间形式”必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形……“数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系……数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构。在今天的数学中，“数”和“形”的概念已发展到很高的境地。比如，非数

2、之“数”的众多代数结构，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。第一阶段数学萌芽时期（远古-----公元前5世纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。第二阶段常量（初等）数学时期（公元前5世纪------17世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独立的分支。两大巨著：《几何原本》《九章算术》——东西辉映，渊源流长。二、数学发展简史：第三阶段变量（高等）数学时期（17世纪中叶------19世纪中叶

3、）：变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。第四阶段近代数学时期（19世纪中叶------二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑……。第五阶段现代数学时期（20世纪40年代以来）：（原子能的应用，电子计算机的发明，空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何……从常量数学到变量数学常量数学应用的局限性建立了日心学理论之后，17世纪的人们面临如何改进计算行星位置，如何解释地球上静止的物体保持不

4、动，下降的物体还落在地球上等问题，这类问题的核心是物体的运动。带有运动特征的问题，初等数学（算术，初等代数，初等几何，三角）无能为力。数学基础是解析几何，标志为微积分。1）解析几何的产生解析几何学是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费尔马等人创建（1637年）。变量数学产生的过程解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑。从根本上改变了数学的面貌，使数学从此跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大大地促进了数学的发展。2）函数概念的出现16世纪开始，科学家认为运动是最基本的物理现象

5、，因此自然科学研究的中心问题是运动，各种变化的过程和变化着的量之间的依赖关系成为新的研究对象，科学家相信运动可以用数学来描述，于是出现了函数的概念。函数概念的出现最早在17世纪，但它的定义直到19世纪才形成，函数概念本身的发展直到现在还在继续。3）微积分的创立与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：1．已知变速运动的路程（为时间的函数）时，求瞬时速度和加速度；2．求已知曲线的切线；3．求给定函数的最大值与最小值；4．求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间

6、的关系。在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵的贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。求切线，求变化率、求极大极小值以及求面积、体积等基本问题，在当时是被作为不同类型处理的。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。变量数学产生的意义1）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工

7、具。2）变量数学的产生，促进数学自身的发展与严密。产生新的数学分支，如解析数论，微分几何等。解决了第一次，第二次数学危机，建立了极限理论，完成了实数的定义等，使数学更加严密。3）变量数学的产生，使辩证法进入数学。辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒变化着的，把世界的发展看作是自身所固有的各种矛盾发展的结果。变量数学的许多概念如函数极限导数积分等，从哲学上讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积分的完善就是自身矛盾发展的结果。因此，变量数学的产生，为辩证法进入数学提供了契机，并且为辩证法具有普遍性的论断，在数学上提供了有力的证明。初等数学是树根植根于科学与技术之沃土，枝

8、繁叶茂，荫