中学小论文—功课表中的数学

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1、浪州市第四届“糕益糅”初屮拷丄救拷小祢夂县（市、区）：温少N市学校（全称）：温州市绣山中学作者：徐亦豪丁岱宗金亦钊指导师：王建生论文题目：功课表中的数学2010年02月功课表中的数学摘要：在温州市初屮数学夏令营学习期间，我们几个同学对功课表上的数学排列问题产生了兴趣，把刚学的知识活学活用。通过不断思考，不断探讨，不断解决提出的问题，修改错误的结论。并努力尝试提出更困难的问题，利用各种数学方法进行解决。而最终得出的结论，也远远超过了这张小小的功课表，同时大家的思维也得到了很大的提升。关键词：功课表数学节数排列组合

2、一、问题的发现在温州市初中数学夏令营学习期间，我们学习了有关排列与组合的问题。在一次课后，我们正无聊的看着功课表。突然，大家开玩笑似地提出了一个问题，有这么多班级，而老师很有限。每个班的数学课不可能都排在同一节，那数学课的排法一共有几种呢？我们都认为这个问题很有意思。于是我们把每天的数学课节数统计做了以下一个表格。天数数学课节数/每天的总节数12/822/831/842/852/861/3提出问题后就上自修课了，我们也只好放下讨论，各自去思考了。当时我最先得出的算法是这样的：第一天的排法：第一节数学课的排法有8

3、种，第二节数学课有7种，所以总共：8x7=56种而第二天、第四天、第五天和第一天的排法相同，也为56种；第三天则为8种；第六天为3种；所以6天的总排法有：56x56x56x56x8x3=236027904种下课后，我们乂开始交流这个问题，但大家马上对我的算法提出了异议：两节数学课（A、B）是一样的，按照上面的算法，把AB和BA算成两种，就重复了。于是我们修改了方案，将每个56改成28,则得出结论共有28x28x28x28x8x3=14751744种排课方法。二、问题的提升正当我们认为问题己解决时，我乂提出了新问

4、题：如果把每天的物理、化学、生物和自修都算入其中，那一共又会有多少种排列方法呢？大家都被难住了，但我们还是下定决心利用学到的知识解决它，于是我们又对全部课程统计列出了下而的表格。天数数学（节）物理（节）生物（节）化学（节）自修（节）1221122212123112224221125211226（特殊原因3节课改为4节）11110我们便又分头开始计算了，最后得出结果是这样的:1.设第一天共有8个位置，则数学有28种排法；去掉2个位置，那物理就有：6x5-2=15种又去掉2个位置，所以生物就有4种排法；同理化学有3

5、种排法；自修有1种排法。则共有：28x15x4x3x1=5040种2.接着，我们又通过比较，发现前5天的课程总是有3种2节课科目，2种1节课的科目，所以前5天每天的安排都有5040种。3.第六天的安排等于是4个元素的排列：A44=4x3x2x1=24种4.所以这六天课程排列共有：5040x5040x5040x5040x5040x24=78048385538457600000种当得出这个结论时，我们惊呆了，没想到一张小小的功课表就有这么多种排列方法，我们3人顿吋感到前所未有的成就感。三.问题的延伸但我们仍不知足，

6、大家接着又提出新问题：假如课程可以随意排，保持每科总数不变和6天的课程总量不变，那又会有多少种排法呢？我们还是各自回去先思考。最后大家总结出了这样一种方法：这个问题就相当于将10个A（数学），8个B（物理），8个C（化学），8个D（生物）和10个E（自修）填入有顺序的44个方格中。我们还是用原来的办法，将44个方格当作44个位置，将10节不同的数学填入的方法有：阳丁。种。又因为10节数学实质上是一样的，所以要除去每种排列重复的次数，就相当于将10节课排顺序的方法为：A1010所以共有：（A4410/Aio1°）

7、种=。441。种我们发现结果太大了，于是就直接用符号表示。44个位置去掉了10个，接着物理课的排列共有：（A348/As8）种=。348种接着，生物课的排列共有：（人268/人88）种=C26*种化学课的排列共有：（AiJ/A,）种=。8*种最后，自修课的排列共有：（Aw10/Aw10）=1种所以，6天44节课的排列方法共有:【C4410*C348•C268*Ci88x11种这个数字已经是天文数字了，我们更加想不到的是，一张小小功课表中竟能蕴含这么多知识，我们无不为之感到震惊。三.进一步提出问题：为使我们的结论

8、对以后老师排列功课表有所作用，更贴近实际，我们乂探讨了新的问题:如果每天毎种课至少一节课有儿种组合？（最后1天数理化生各一节）1-5天的课每天每种课先排一节的课程组合为（这5节课两两不同，故不用除以A44）：（A58）种，5天共（A%）§种第6天的课程组合为Atj种还剩下15节课其中数学4节物理2节化学2节生物2节自习5节。这15节课可以随便排入剩余的15个空格则数学的排列方法有%种物