“正弦函数的性质”的教学应该教什么

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1、“正弦函数的性质”的教学应该教什么董海涛安徽省阜阳市第三中学（236006）作者简介：董海涛（1970—）,男，中学高级教师，安徽省特级教师•研究方向：高中数学教学.曾获安徽省“高屮数学骨干教师”，阜阳市“第七届拔尖人才”称号，阜阳市首届“百名名师”•在《中学数学教学参考》（上半月）、《数学教学》、《数学通报》、《数学通讯》（教师刊）、《中国数学教育》、《中小学数学》（高中）、《中学数学》、《中学数学教学》、《中学数学杂志》、《数学教学通讯》、《中学数学研究》等刊物发表论文50多篇摘要：“正弦函数的性质”教学应该在整体观的指导下，将教学的着力点定位在：教定性到定量的研究过程，教研

2、究周期问题的一般方法,教对单调递增区间的认识。关键词:正弦函数性质单调递增区间周期周期现象是客观世界常见的基本现象，周期函数是刻画周期现象的函数模型，而三角函数又是重耍的周期函数，因此，中学数学教材主要利用三角函数研究周期现象•而三角函数的研究中，重点应放在对正弦函数的研究上，余弦函数和正切函数，无论图像还是性质，研究方式方法都与正弦函数的研究过程基本相同•北京师范大学出版社编著的普通高中课程标准试验教科书必修❹（以下简称教材），对“正弦函数的性质”的研究，可谓独具匠心，一线教师若不认真揣摩，不仅辜负了教材编写者的良苦用心，而且失去了一次宝贵的“研究教材,提升教学”的机会•下而就

3、“正弦函数的性质”的教学到底教什么,谈谈笔者的认识，与大家交流.“正弦函数的性质”的教学应教明从定性到定量的数学研究基本过程，完成认识的螺旋式上升关于“止弦函数的性质”，教材专门安排了两节内容:"4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质”以及“5.2正弦函数的性质”,教学实践中，不少一线教师对教材的这种安排，发出了疑问：“第5.2节不是第4.3节的再现吗？还有研究的价值和必要吗”？首先，让我们思考第4.3节的价值和意义.为什么教材专门增加一节，利用单位圆研究正弦函数和余弦函数的基本性质？这是为了利用儿何图形的直观性，直观感知正弦函数和余弦函数的基本性质•“正弦函数、余弦函数是一

4、对起源于圆周运动，密切配合的周期丙数，它们是解析几何和周期函数的分析学中最为重要的函数，而正弦函数、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映”•因此在三角函数的教学中，单位圆的作用和地位非常重要，使我们很方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等.其次，让我们研读教材的编写顺序不难发现，在第4.3节和5.2节之间，还有“4.4单位圆的对称性与诱导公式”和“5.1正弦函数的图像”，而且在第5.2节的卷首，首先开宗明义：“观察图1・35,进一步研究正弦函数的性质”

5、•何谓“进一步”？而且在本节的“思考与交流”环节，明确提出“利用正弦函数的图像和诱导公式探索止弦函数图像的对称性•它有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由”•除利用图像外，还要利用诱导公式探索正弦函数图像的对称性，这样的编写顺序和明确要求，体现了教材的什么意图？需要老师们认真体会.最后，让我们认识数学研究对象的一般过程•我们知道,利用单位圆和正弦函数的图像，能够直观得出正弦函数的性质，但这些都是宜观的、肤浅的、定性的认识，学习了诱导公式，再结合“5.1正弦函数的图像”，应该做到教材的明确要求“观察图1-35,进一步研究正弦函数的性

6、质”.既然是“进一步研究”，很明显不是简单的重复，通过5.2节内容的学习，对“正弦函数的性质”的认识，在4.3节的基础上，结合诱导公式，要上一个高度，耍从具体走向抽象，从直观走向客观，从定性走向定量！因此，在本节的教学中，“进一步研究”要体现在从定性走向定量的过程•定量意味着精细，定量体现了理性.从感性的定性到理性的定量地认识数学对象，不仅是数学对象研究的一般过程,同吋也是高中生应有的数学素养，是我们数学教学追求的境界.因此，止弦函数的周期性、奇偶性、图像的对称轴、对称中心除观察图像直观得出外，在本节应结合诱导公式给予定量说明，而不应该是第4.3节知识的再现和重复.如根据诱导公式

7、sin(2尿+x)=sinx,说明函数/(x)=sinx满足f(x+2k兀)=f(x),因jit2k7r(kwZ)是正弦函数/(x)=sinx的周期，其中2龙是最小正周期.根据诱导公式sin(-x)=-sinx,说明正弦函数/(x)=sinx满足奇函数的定义/(-X)=-/(x),故正弦函数/(x)二sin兀是R上的奇函数.根据诱导公式sin(zr-x)=sinx,说明函数/(x)=sinx满足f(7t-x)=/⑴，因此正弦函数/(x)=sinx有对称轴x=~9进而由sin(2R