概率与数理统计第四章

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1、第四章数理统计的基本概念4.1总体与样本4.2统计量与抽样分布4.3抽样分布定理4.1总体与样本1.总体：2.个体：研究对象的全体。组成总体的每个基本单元。有限总体无限总体集合与元素的关系。例如，研究某大学一年级新生的体重情况。总体：该大学的全体新生的体重。个体：每个新生的体重。数量指标可用随机变量描述第i个新生体重用描述4.1总体与样本3.了解总体分布的方法4.我们把从总体中随机抽取的n个个体称为样本，n为样本容量。全面观测抽样观测（1）代表性：样本与总体同分布；观测得5.简单随机样本（2）独立性：是相互独立的随机变量。4.1总体与样本6.设总体X的分布函数为F(x

2、)，是取自总体的样本称上式为样本分布函数。7.若总体X为连续型随机变量，其概率密度为，则称为样本概率密度。为样本概率分布。8.若总体X为离散型随机变量，其概率分布为，则称4.2统计量与抽样分布4.2.1统计量4.2.2抽样分布1.样本均值的分布2.分布3.分布4.分布4.2.1统计量定义：设是来自总体的样本，是一个样本函数，若g中不含有总体分布中的未知参数，则g称为统计量。例如，设总体，已知，未知。为样本统计量未知，U不是该样本的统计量4.2.1统计量常见统计量：设为总体X的样本，是样本观测值1．样本均值：2．样本方差：修正样本方差3．样本标准差：4．样本k阶原点距：

3、5．样本k阶中心距：4.2.1统计量样本均值：样本方差：当抽样结果确定后，我们把样本观测值代入统计量，反映样本平均取值的情况反映样本取值的分散程度例4.1某老师为调查大学生对数学的学习情况，随机抽取了30名学生的高等数学的期末成绩，数据如下：849072738575506986785672866681908785868786869157698575848587这是一个容量为30的样本观测值反映了学生高等数学成绩的平均水平。反映了学生高等数学成绩的分散程度。4.2.2抽样分布1.样本均值的分布设总体，为来自总体的样本，则标准化得记xy满足条件上侧临界值xy满足条件双侧临

4、界值由对称性当时，可由查得可由查得4.2.2抽样分布定义：设为来自总体的样本，则2.分布服从自由度为n的分布，记作密度函数为xy分布的性质：（1）若，则，（2）若，且相互独立，则（3）若，满足条件的称为上侧临界值。上侧临界值4.2.2抽样分布例如，查表可得，，其意义为例4.2设为来自总体的样本，令试求常数C，使服从分布。解：且它们是相互独立，即所以C=184.2.2抽样分布服从自由度为n的分布，记作密度函数为t分布的性质：（2）当n充分大时，t分布近似于标准正态分布。3.分布定义：设，，且X,Y相互独立，则称（1）t分布密度函数图像关于y轴对称，且（3）若，满足条件的

5、称为上侧临界值。xy上侧临界值满足条件的称为双侧临界值。当时，4.2.2抽样分布F分布的性质：定义：设，，且X,Y相互独立，则称（4）若，满足条件的称为上侧临界值4.分布服从第一自由度为，第二自由度为的F分布，记作（1）若，则（2）若，则（3）xy上侧临界值例如，查表可得，，其意义为4.3抽样分布定理定理1设总体，是来自总体的样本，和分别为样本均值和（修正）样本方差．则（1）（2）（4）（3）样本均值和样本方差相互独立；4.3抽样分布定理（1）证明：由于正态随机变量的线性组合也服从正态分布，可知服从正态分布。样本与总体同分布样本相互独立标准化4.3抽样分布定理（2）证

6、明：4.3抽样分布定理（4）证明：相互独立4.3抽样分布定理定理2设总体和是两个相互独立的正态总体，和为样本均值和样本方差；是来自总体X的样本，和为样本均值和样本方差。是来自总体Y的样本，记则（1）相互独立；（2）（3）（4）（5）