难点13数列综合应用问题

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1、难点14数列综合应用问题纵观近儿年的高考，在解答题中，有关数列的试题岀现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而口述与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题屮有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题•这就要求同学们除熟练运用冇关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想冇关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.•难点磁场1+2t~(★★★★★)已知二次函数在x=-处収得最小值一一(f>O)y(l)=O.(1)求的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)•

2、gM^aftx^bn=xn+}［g(x)］为多项式，圧N),试用r表7Jan和bn；(3)设圆C”的方程为(x-an)2+(y-bny=r^圆C“与C“+】外切(心1,2,3,…);仇}是各项都是正数的等比数列，记S”为前〃个圆的而积之和，求心、S“.•案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，木年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少丄，木年度当地旅游5业收入估计为40()刀元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今示的旅游业收入每年会比上年增加丄.4⑴设八年内(本年度为笫

3、一年)总投入为给万元，旅游业总收入为久万元，写岀％久的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：木题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：⑴问％九实际上是两个数列的前川项和,易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻

4、挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：⑴第1年投入为800万元，第2年投入为800X(1一丄)万元，…第死年投入为800X(l-丄)“T万元，所以，料年内的总投入为1［巾1心00+800X(l--)+・・・+800X(l--)i=工800X(1—一厂4=4000X［1—(一)"］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X（1+丄），…，第斤年旅游业4收入400X（讨厂万元所以…年内的旅游业总收入为1]〃5仇=400+400X(1+-)+…+400X(l+-/_,=y

5、400X(-/_1.444=1600X［（-/-!］4（2）设至少经过h年旅游业的总收入才能超过总投入，由此九一给＞（）,B

6、J：5441600X［（_）"—1］-4000X［］_（_）〃］＞0,令x=（-）代入上式得:5x2-7x+2＞4550.解此不等式，得%＜-,或兀＞1（舍去）.即（兰）”v2,由此得・••至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知SR+丄+丄+・・・+丄，（用N）设如匸S2“+】一S“+i,试确定实数m的取值范围,23n使得对于一切人于1的自然数斤，不等式：f（n）＞［log/（加一1）］2—歸［1

7、0帥-1）加］血成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题R.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学牛很容易求/0?）的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决木题的关键是把加）SWN*）看作是斤的函数，此时不等式的怛成立就转化为：函数和）的最小值人于［log”伽一1）］2—亠［log叶国］2.解「如+出+…+和詁）二f(”)=^2h+1—S〃+i又m+i)_/“)=—!—+=—!—+——2n+22n+3n+2

8、2n+22n+32n+4(2/?+22h+4)+(12〃+3)>0min=^2)=9=20血)>[log“伽—1)]2—寻［log叶1対］2恒成立•••心+1）＞血）・・』W是关于n的增函数1112+22+3•••要使一切人于1的自然数弘不等式m>O.m1〜„由得〃?>1且加工2m-1>O.m-1工1此时设[log”伽一1)]2=t则/>0于20>Z_20解得00由此得0V[lognj(m-l)J2<1解得加〉上竺且〃H2.2•锦囊妙计1•解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识，乂要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力

9、；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近儿年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：