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1、数理统计一、数理统计的基本概念二、参数估计三、假设检验一、数理统计的基本概念（一）总体、个体和样本1.总体：研究对象的全体，记为X.2.个体：组成总体的每个元素。3.样本：从总体中按某种方式抽取若干个个体所组成的集合.个体的个数称为样本容量(大小).容量为n的样本记为(X1,X2,‥,Xn).4.简单随机样本：来自总体X的n个相互独立且与总体同分布的随机变量X1,X2,‥,Xn.简称样本.样本观察值：5.样本(X1,X2,‥,Xn)的联合分布函数设总体X的分布函数为F(x),则样本(X1,X2,‥,Xn)的联合分布函数为(1)若总
2、体X具有密度函数f(x),则样本的联合密度函数为(2)若离散总体X具有分布律：则样本的联合分布律为6.分位数(点)设总体X的分布函数为F(x),满足的点称为X的上分位数.若满足的点称为X的下分位数.设X1,X2,‥,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,‥,xn是这一样本的观察值.（二）统计量1.定义不含总体分布中任何未知参数的样本X1,X2,‥,Xn的任意函数g(X1,X2,‥,Xn)称为统计量.2.常用统计量(1)样本平均值(2)样本方差(4)样本k阶原点矩(5)样本k阶中心矩一阶：二阶：二阶：（样本方差）3.抽样分布统计量
3、的分布称为样本分布.(3)样本标准差（三）三大抽样分布1.分布(1)定义设X1,X2,‥,Xn相互独立,且都服从则随机变量所服从的分布称为自由度为n的分布,记为(2)数字特征：(3)分位数2.t分布(1)定义设且X与Y独立同分布,则随机变量所服从的分布称为自由度为n的t分布,记为(2)性质:当n足够大时,(近似)(4)分位数密度函数的图形关于y轴对称,形状与标准正态分布相类似.(3)数字特征：ET=0,n>0,DT=3.F分布(1)定义设且X与Y独立同分布,则随机变量所服从的分布称为自由度为(n1,n2)的F分布,记为(3)数字特
4、征：(2)性质:若则若则(4)分位数（四）正态总体的常用统计量1.单个正态总体的抽样分布设X1,X2,‥,Xn是来自正态总体的一个样本,分别是样本均值和样本方差,则相互独立,并且2.两个正态总体的抽样分布设X1,X2,‥,Xn1是来自正态总体的一个样本,X1,X2,‥,Xn2是来自正态总体的一个样本,且两个样本相互独立,设它们的样本均值和方差为则当时，其中（五）最大、最小次序统计量的分布设总体X的分布函数为F(x),X1,X2,‥,Xn是来自总体X的样本,则统计量和的分布函数分别是重要结论1.无论总体X是否正态分布，只要样本X1,
5、X2,‥,Xn取自X，且则2.三大抽样分布的有关性质：(1)若则(2)若则X与Y相互独立,则(3)对于有(4)对于有(5)若总体X的k阶原点矩存在,X1,X2,‥,Xn取自X的样本，则考点与例题分析有关数理统计的基本概念考点一：求样本容量n,或与样本均值和样本方差有关的概率(记住统计量的分布).考点二：求统计量的数字特征(利用统计量和数字特征的性质).考点三：求统计量的分布.例1在天平上重复量称一重为a的物品,假设各次称量结果相互独立且服从正态分布若以表示n次称量结果的算术平均值,则为使n的最小值应不小于自然数________.考
6、点一：求样本容量n,或与样本均值和样本方差有关的概率由得取解例2从正态总体中抽取样本X1,X2,‥,X10，（2）未知求概率（1）已知求概率已知未知解由统计量的分布知（1）已知因此（查表）（2）未知例3设总体X1,X2,‥,Xn是来自X的样本,考点二：求统计量的数字特征注意利用统计量的性质和随机变量的性质记则解因且从而故随机样本，为样本均值，记例4设为来自总体N(0,1)的简单求：（I）的方差（II）与的协方差分析先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算解由题设，知相互独立，且，（I）（II）考点三：求统计量的分布
7、.利用分布，t分布和F分布的典型结构、正态总体下常用统计量的性质求解.正态总体的三个抽样分布：例5设总体X~N(0,1),从中取一个容量为6的样本(X1,X2,‥,X6),设Y=(X1,+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试决定常数C，使随机变量CY服从分布.解因X1,+X2+X3~N(0,3),故同理于是有例6设则解由t分布的性质知再由F分布的性质知因此选（C）.：、、例7设总体X1,X2,‥,Xn是来自X的简单样本，是样本均值，记服从自由度为n-1的t分布的随机变量是为样本方差，则简单随机样本，为样本均值，例8(05)设
8、为来自总体N(0,1)的正态总体的三个抽样分布：解由正态总体抽样分布的性质知，可排除(A);又可排除(C);而不能断定(B)是正确.且相互独立，于是故应选(D).因为二、参数估计点估计估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概
