吉林大学本科运筹学课件-线性规划与单纯形法

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1、运筹帷幄之中决胜千里之外线性规划及单纯形法LinearProgramming第一章Chapter1线性规划(LinearProgramming)LP的数学模型图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论－人工变量法LP模型的应用本章主要内容：线性规划问题的数学模型1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产

2、品量最多、利润最大.）线性规划问题的数学模型例1.1如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？xa线性规划问题的数学模型例1.2某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？解：1.决策变量：设产品I、II的产量分别为x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有：maxz=2x1+x23.约束条件：5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥0线性规划问题的数学模型例1.3已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品好销。设备产品ABCD利润（元）Ⅰ21402Ⅱ22043有效台时1281612解

3、：1.决策变量：设产品I、II的产量分别为x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有：maxz=2x1+3x23.约束条件：x1≥0,x2≥02x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12线性规划问题的数学模型例1.4某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量解：要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。1.决策变量：设四种原料的使用量分别为：x1、x2、x3、x42.目标函数：设总成本为zminz=5x1+6x2+7x3+8x43.约束条件：x1+2x2+x3+x4≥1

4、602x1+4x3+2x4＝2003x1＋x2+x3+2x4≤180x1、x2、x3、x4≥0例1.5某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：航线号船队类型编队形式货运成本（千元／队）货运量（千吨）拖轮A型驳船B型驳船1112—362521—4362023224724041—42720船只种类船只数拖轮30A型驳船34B型驳船52航线号合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？线性规划问题的数学模型解：设：xj为第j号类型船队的队数（j=1，2，3，4），z为总货运成本则：minz=36x1+36x2+72x3+

5、27x4x1+x2+2x3+x4≤302x1+2x3≤344x2+4x3+4x4≤5225x1+20x2＝20040x3+20x4＝400xj≥0（j=1,2,3,4）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2.线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？线性规划问题的数学模型3.建模条件(1)优化条件：问题所要达到的

6、目标能用线型函数描述，且能够用极值（max或min）来表示；(2)限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不等式表示；(3)选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。线性规划问题的数学模型4.建模步骤(1)确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；(3)写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max还是min。线性规划问题的数学模型目标函数：约束条件：5.线性规划数学模型的一般形式简写为：线性规划问题的数学模型向量形式：其中：线性规划问题的

7、数学模型矩阵形式：其中：线性规划问题的数学模型6.线性规划问题的标准形式特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。线性规划问题的数学模型（2）如何化标准形式目标函数的转换如果是求极小值即，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。也就是：令，可得到上式。即若存在取值无约束的变量，可令其中：变量的变换线性规划问题的数学模型约束方程的