[优化]线性规划习题精选精讲

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1、0'、、"2x+y=2线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性H标函数的取值范囤x<2例1、若x、y满足约束条件ly<2，则z=x+2y的取值范围x+y>2是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线/：x+2y=0,将/向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2,过点B（2,2）时，有最大值6,故选Ax=2二、求可行域的面积2x+y-6>0例2、不等式组｛兀+丿一350表示

2、的平面区域的面积为（）注2A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，AABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足lxl+lylW2的点（x,y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个%+y<2（x>0,y>0）x-y<2gO,yy0）解：lxl+lylW2等价于<-x+y<2（兀YO,ynO）-x-y<2（兀Y0,yY0）作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范x+y>5例4、已知x、y满足以下约束条件

3、550,使z=x+ay（a>0）取得x<3最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、一3B、3C、一1D、1解：如图，作出可行域，作直线/：x+ay=O,要使目标函数z=x+ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个，则将z向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=l,选D五、求菲线性冃标函数的最值2x+y-2>0例5、已知x、y满足以下约束条件0B、13,23x-y-3<0解：如图，作出可行域，/+y2是点（％,y）到原点的距最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即IAOI2=13,4点到直线2x+y-2=0的距离的平方，即为一，选C5则z=x2+y2的最大值

4、和最小值分别是（）离的平方，故最小值为原例6、已知I2x—y+mlV3表示的平面区域包含点（0,0）和(-1,1),则m的取值范围是A.(-3,6)(0,6)Cx(0,3)D.(・3,3)2x-y+加+3>0解：I2x—y+mlV3等价于3由右图可知_3<0'故°

5、二种类型是给定i项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力.物力资源量最小。例1、某木器厂生产恻桌和衣柜两种产心现有两种木料，第一种有72〃几第二种有56〃几假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利1（）元.木器厂在现冇木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多？产品木料（单位沪）第一种第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.280」8x+0.09^<720.08x+0.28y<56解：设生产圆桌X只，生产衣柜y个，利润总额为z元，那么<而z=6x+10y.x>0y>0六、求约束条件

6、中参数的取值范围如上图所示，作出以上不等式组所衣示的平面区域，即可行域.作直线/:6x+10v=0,即/:3工+5尸0,把直线/向右上方平移至/,的位置时，直线经过可行域上点M,且与原点距离最大，此时z=6.r+10v取故大值f0.18x+0.09y=72解方程组彳，得M点坐标（350J00）.答:应生产関桌350只，生产衣柜100个,能使利润总额达到以大.[0.08x+0.28y=56指出:资源数量一定，如何安排使用它们，使得效益故好,这是线性规划屮常见的问题Z—例2、某养鸡场有1力只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,Jt中动物饲料不能少于谷

7、物饲料的-.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000匕问饲料怎样混合才使成本最低x+y>35000解:设每周需用谷物饲料兀如动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元，那么y>—x5，而<=0.28x+0.9v00如下图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作一组平行直线0.28x0.9），n,其中经过可行域内的点且和原点故近的直线，经过直线丹尸35000和直线y=-x的交点x,8750017500、