[实践]高考数学难点突破难点22轨迹方程的求法

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1、难点22轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析儿何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系•这类问题除了考杏学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考杳了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一犬难点.•难点磁场(★★★★)已知A、B为两定点,动点M到4与到B的距离比为帘数化求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.•案例探究［例1］如图所示，已知P(4,0)是圆x2+v2=36内的一点，A、B是圆

2、上两动点，满足ZAPB=90°,求矩形APBQ的顶点0的轨迹方程.命题意图：木题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题冃.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段力3中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设的中点为坐标为(x,y),则在RtAABP中，L4/?I=IP/?

3、I.乂因为R是弦仙的小点，依垂径定理：在Rt/^OAR中，L4/?I2=L46>12-10/?12=36-(?+/)又L4/?I=IP/?I=J(x_4)2+y2所以有(x—4)2+y2=36—(jv2+>,2),即x2+y2—4x—1()=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设0(心)，Rgji)，因为尺是PQ的中点，所以沪乂匕,y】=上22代入方程x2+y2—4x—10=0,得(宁)2+(尹_4•宁-10=0整理得：?+/=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点4和B为抛物线/=4px(p>0)

4、上原点以外的两个动点，已知04丄03,丄求点M的轨迹方程，并说明它表示什么Illi线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：木题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题冃.知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A、B两点的坐标分别为(31),("时,注意对的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x、y川具他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于兀、y的关系.解法一：设A(x

5、,yi),B(x2oj2)(x,y)依题意，冇①②③④⑤Ji2=4p兀iyi=4心兀］X2上」一)2=_1X兀］一兀2儿一)‘2二歹一

6、力X］-X2X-X

7、①一②得5一)吩01+$2)二4卩(心一X2)若®，则有节汁担①X②，得j!2•y22=16p2x1x2③代入上式有)小=一16/,⑦⑥代入④，得4/7-X⑧+『2-V⑥代入⑤，得吕_=41二上牛X4“所以玉勺gg即4/zr-y]2=y©i+)'2)—)『—yiy2⑦、⑧代入上式，得＜+)2—4/zr=0(xH0)当时，AB丄x轴，易得M(4〃,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2—4/?a-0(%0)它表示以(2〃,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二设W,.V)，直线4B的方程为y=kx+

8、bY由OM丄A3,得k=~-y由｝,2=4/?x及y=la+b,消去y,得ICx2+(2kb—4/?)x+/?2=0Z.2所以兀1也二厂，消兀，得ky2_4py+4pb=0由OA丄OB,得yy2=~X]X2所以址S-4kpkk2故y=kx+b=k(x—4”),用k=——代入，得x2+y2—4/x=0(xH0)y故动点M的轨迹方程为x2+/-4px=0(x^0),它表示以(2〃,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2cm和一个胃径为1cm的标准圆柱，检测一个肓径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建

9、议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属**★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的处标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设岂径为3,2,1的三圆圆心分别为0、4、B,问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O0相内切,与OA、OB相外切.建立如图所示的处标系，并设OP的半径为几则IB41+170=1+厂+

10、1.5—/=2.5・••点P在以4、0为焦点，氏轴长2.5的椭圆上，其方程为253②同理P也在以0、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为12912由①、®W#P(-,-),2(-,--),故所求圆柱的直径为色cm.7•