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1、人大统计学考研历年真题参考解答精华版(03-09)2009年人大统计学专业课初试题参考解答一、设第一、二个总体均值分别为"与“2,样木均值分別为舀与氏，样木方茅分别为肾与S；。1•构造原假设和备择假设H（）:“]一&§°㈠H
2、：“1一“2>°2•构造统计量。由于两总休方差相等，且均为正态总休，则可以构造如下检验统计量:(X]-X?)-(“1-“2)2_("1-1)S；+(川2-1)S；p+n2-215x64+35x4915+35=53.524-204x4x6煌)7.3144x7.2111=1.82
3、013•计算临界值。给定显著性水平如a=0・05,计算临界值。(比+“2-2)ho®(50)，由于50>30,则r005(50)«细05=1.645。4•做出决策。由于/=1.8201>1.645,故拒绝原假设，即认为“>“2。二、1・对于回归模型r=X0+£,0的最小二乘估计为：y?=(XX)-1Xyo现在来看它的期望E(^=E[(X'X)-lXy]=(X'X)-lX'E(y)=(XXy'X'E(Xj3+£)=(X'X)TX'(X0+E@))=0+(x'xy'x'E(坊从上面可以看出，要使P为无
4、偏估计，贝IJ必须满足E(»0,所以只有当E(£)H0时，B才为有偏估计。2.使E(刃工0的原因：①遗漏了关键口变量，即全模型止确时，而我们误用了选模型。用选模型建模时，使得误差项中含有遗漏自变量的信息，从而期望不为零。证明过程如下(8)证明：假设正确模型为Y=X0+g,令X=£,XJ,0=入o而我们选用了模10/)型丫卡0卩+£来估计0,得到Bp=(XpXpfXpy,则E(/3p)=E[(XpXp)-[Xpy]=(XpXprXpE(y)=(XpX)'XpX0・i‘的=(XpXpr，X/,(X/,
5、,X/):'Pl丿=0p+(XpX)'XpXQ从上式可以看出久是0〃的有偏估计。①加入了无关紧要的自变量，即选模型正确，而我们误用了全模型，这样会过度提取误丼项信息，使得佔计量有偏。证明过程和上式弄不多。这里省略。2.解决办法：在选择自变量时，对因变量有重要影响的自变量尽量考虑全面，但自变量又不是越多越好，应该去掉那些对因变量没有影响或者影响很小的自变量。具体实施办法有前进法、后退法、逐步回归法等。三、是平稳过程，证明如下H1E(X{)=E(Acos(cot+(p))=Acos(cot+(p)——
6、d(p—2龙——4sin(Qf+0)2龙71-71——[Asin(69Z+7T)~Asin(Qf—zr)]2/r=0Var(XJ=Var(Acos(cot+©))=E((Acos(er+(p))2)一[E(Acos(Qf+©))F=E((Acos(m+/))2)=「A2cos2(cot(p)—d(p71]-7119fTA219A2=——[A^tt+I——cos(26>r+2(p)d(p]=——[A^+——sm(2(ot+2(p)2/r—22/r4A2=——<002心s)=cov(X”,XJ=E(X
7、K)-E(XJE(XJ=E(XtXs)=P4,cos(初+0)cos(M+0)丄d©丄打2/rx22A2cos(Q(f—s))+——sin(ef+砒+2(p)471——[cos(曲一cos)+cos⑷+曲+2(p)]cl(p=——COS(69(r-5))4/r即协方差函数只与有关。由平稳过程的定义知，题中所定义的过程为平稳过程。四、1•先来估计齐层总体的方差。在比例估计小定义1,第Z个单元具有所考虑的特征，・m0,其它（—N）则可得如下关于总体方差的式子1N—1N—M——M从上式我们可以估计出各层
8、的方差fp,(!-/?!)«0.5x0.5=0.25,©=0.5N]-15；=-厂(1-0.7x0.3=0.21,=0.4583“2-1「£=——p3(l-p3)«0.6x04=0.24,53=0.4899N3-・（由'Nr很大’故省略系数瓦肯O）6002.考虑样本容量为600的简单随机抽样的方差。在简单随机抽样下总体比例的估计量为厂300x0.5+180x0.7+120x0.6=0$估计量方差的估计值为/、1-/pq0.58x0.42八心八“小v(p)=pq«==0.0004067n--
9、5993.考虑奈曼分配的情形。设抽取的样本容量为n,样本量在各层的分配公式为代入数据得到n=0.5x0.50.25+0.3x0.4583+0.2x0.4899n=0.5149/?n20.3x045830.25+0.3x0.4583+0.2x0.4899n=0.2832〃0.2x0.4899n0.25+0.3x0.4583+0.2x0.4899=0.2019m则奈曼分配的估计量方差的估计为叽2辆（i带吃w：4一10.25x0.250.5149〃一1+0.09x0.210.2832〃
