专题三第2讲数列乞降及数列的综合应用

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1、第2讲数列求和及数列的综合应用自主学习导引真题感焙1.(2012•大纲全国卷)已知等差数列｛為｝的前〃项和为S”,倚=5,S5=15,则数列,—ClnUn+[101D*loo的前100项和为100A•而解析利用裂项相消法求和.设等差数列S”｝的首项为％,公差为d.•.•。5=5,S5=15,a+4d=5,,5X5-15a+d=5,/•禺=。1+(n_l)d=n.11anan+(n+1)nn+1数列的询i°°项和为i—扌+m…血—J__顾=1_100loT=ToT-答案A2.(2012•浙江)已知数列｛%｝的前

2、n项和为S“,且S,=2n2+n,neN+，数列｛乞｝满足an=4og2bn(1)求陽,九;(2)求数列｛an・bn｝的前n项和Tn.解析⑴由Sn=2n2+n,得当n=l时，％=S]=3；当n^2吋，q“=S”_S“_]=4h_1.所以^,=4/1—1,nGN_

3、_.由4n—1=a,=41og2/?n+3,得bn=T~eN_

4、_⑵由⑴知陽仇=(4m_1)・2”t,neN+，所以7；=3+7X2+11X22+・・・+(4/?—1)・2”t,2T/=3X2+7X22+-+(4h-5)-2,,_1+(4/i-1)-2

5、所以27；—7；=(4/?—1)2"—［3+4(2+22+・・・+2“t)］=(4比一5)2"+5.故7；=(4〃一5)2”+5,/?GN_

6、_.考题分析数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握儿类重要的求和方法，并加以灵活应用.网络构建

7、等差数列前”项和_公式法等比数列前“项和

8、数列求和lI分组求和法裂项相消法特殊数列求和T

9、错位相减法［倒庁相加迭厂馬方程的综介应甬-百函数的绻合应用综合应用I卜I与不等式的综合应用T与实际生活问

10、题的综合应用高频考点突破考点一：裂项相消法求数列的前斤项和【例1］(2012-n头沟一模)数列佃｝的前〃项和Sn=n2+1.⑴求数列仏｝的通项公式；⑵设加=」一(用N+),求数列｛仇｝的前n项和Tn.(S1,A?=1,［审题导引］⑴运用公式為=仁G7求Q”注意〃=1时通项公式％IS“一S—［,〃刁2,(2)裂项法求和.［规范解答］⑴由已知,当m=1时,°i=Si=2,当时，cin=Sn—Sn-1=2/7—1、『2,n—y・・・数列｛给｝的通项公式为a产仁t“12〃一1,nN2n=1,n22,(2)由⑴知,b„=

11、m-1)(2h+1)_2^2h-12t?+1丿'当〃=]时,T—b—^,当n22时,Tn=b+b2hn•*.｛仇｝的前n项和7；=*-1、112n+34/?+2J【规律总结】常用的裂项技巧和方法用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有吋很难找到裂项的方向.突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：⑵何^+浙弓松4回(4)/171!=(/?+1)!~n!等.［易错提示］利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误冇两个方面:(1)裂项过程中易忽视常数，如亦匕容易误裂为詁？漏掉

12、前面的系数*;(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误.【变式训练】Y1•(2012•大连模拟)已知函数jx)=丫

13、3,数列｛q“｝满足a1=1,a“+1WN+).(1)求数列｛。“｝的通项公式an(2)若数列｛仇｝满足仇=尹沁“+1・3",Sn=h｝+b2+-+bn9求S协解析(1)由已知，如=洽亍・・・±=2十1・・••丄+*=3仔+月,并且丄+*=

14、,an+12^n2丿ci221113・・・数列

15、-+2/为以号为首项，3为公比的等比数列,⑵仇=2・3"(3"—1)(3"+1^S

16、n—b+仇+…+九111_1_1__13-1_32-1H3"—1—3"和_1_空_3"+

17、-V考点二：错位相减法求数列的前〃项和【例2】(2012-滨州模拟)设等比数列他｝的前刃项和为S”，已知色+

18、=2S“+2SWN+).(1)求数列a｝的通项公式;⑵在给与外+】Z间插入n个数，使这n+2个数组成公羌为dn的等羌数列，求数列计'的而n项和Tn.［审题导引］(1)利用递推式消去必可求给；(2)利用错位相减法求数列#^的前n项和.［规范解答］⑴由色+i=2S“+2GGN+),得陽=2Szl_i+2GWN+，mN2),两

19、式相减得d“+］—a”=2an,即Q”+i=3a“(〃eN+，mM2),乂爲=2牛+2,*•*他｝是等比数列，所以°2=3勺，则2竹+2=3竹，・・・©=2,・・・色=2・3"一】.(2)由⑴知如］=2・3”,為=2・3”t...4X3"T*•*+1=Q”+（〃+1）d“，.•dn=—,人F1,1,1,,1令r+石+石+•••+石