二胡的物理参数的计算与测量

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1、二胡物理参数的计算与测量（2）袁振才（华润集团,广东深圳518026）【摘要】：本文简要地论述了圆形薄膜的振动理论；重点讨论并给出了如何利用相关理论来测量和计算琴皮的物理参数的方法。【关键词】面质量密度；表面张力；基频；质点振动系统；弹性控制区1引言上篇中我们讨论了有限长弦的振动理论，根据这些理论和相关知识，我们测量和计算出了二胡琴弦和琴筒的冇关参数。二胡琴皮是一种薄膜，因此，本文首先讨论圆形薄膜的振动理论，根据这些理论，我们测量和计算出了二胡的具他物理参数，如膜（琴皮）的张力、而质量密度等。下而我们就分别讨论这儿个问题。2膜（琴皮）的振动

2、2.1对称圆形膜的自由振动二胡口前通常采用的是六角形琴筒，也有用圆形的。为简单起见，我们先讨论圆形琴筒上的薄膜的振动。由于我们只对有限圆对称振动感兴趣，即圆膜振动位移77与〃无关，“仅是「的函数,即势0,由文献⑴可知,其振动方程为d2?j1d/j_1d2r/-(1)-I-—■=dr2rdrc~dt~其中〃圆膜振动位移（M）r膜上某点到原点的径向距（M）T膜表面张力（N/M）cr膜的面质量密度（kg/Mz）此为二阶偏微分方程。仍用分离变聚法，设试探解为77（r,/）=T?（r）T（r）o但由于我们只考虑简谐振动，因而可令其对于『部分的解为简谐

3、函数，即T（t）=e^,故试探解变为〃（厂,/）=/?（『”伽（2）经代入、变换，（1）式则变为82Rzdz(3)其屮kr-z（3）式是标准的零阶柱贝塞尔方程。其一燉解只能为R（z）=A/（）（z）（4）所以，膜的位移?7（r,/）=R（kr）ejf,）l=AJ（）（kr）ejf,）,（5）我们知道圆形膜产牛振动主要靠张力，也就是说要把膜绷紧，其边界必须固定。所以它的边界条件为〃（°）=0这里d是圆膜的周界半径，又因AhO,0加h0,只能丿0（滋）=0（6）这就是说，圆形膜周界固定的物理条件，数学上就归结为求零阶柱贝塞尔函数的根。据文献[1

4、]附录，查得满足（6）式的根有n个，即n=1,2,3,…“[=2.405,心=5.520,角二&654…。f=•"2m2mV

5、移表达式为〃（F）=(8)其屮(10)其中£为琴皮受到的压强的振幅，3为压强的圆频率。利用边界条件，在2Q处应有〃（。）=0，代入上式便可得(9)代入上式可得这里几是位移的振幅。它表明当膜强迫振动时，它的位移振幅也与径向位置有关。不难看出，当肋二2.405、5.520、8.654……一•系列数值时，久->00,表明系统发生共振。实际上，由于有阻尼，振幅不可能无穷大，而应该是一个较大的数值。因此，在数学上可理解为上式中丿0（肋）并不等于零，而是趋近零的较小的一个数。又因为当r=0时Jo（O）=l为最人，即振幅在圆膜屮心处最大，而且随着尸的增人

6、而减小，至边界/=6?时为0。换句话说，当/収某一值时，随着强迫振动的频率/（也就是£值=3/c二2xf/c）逐渐增大，发生共振时的振幅也会逐渐变小。在m自由振动的基频）时，共振的振幅最大。利用这一特性，理论上我们可以测得土，但要求施予膜的声压信号应比较恒定。为得到振幅与强迫力频率之间的关系，我们对位移振幅在径向0-~间取平均值，即匕厶血）k2T丿。（加）(11)仔细观察（11）式，当ka<0.5时，将贝塞尔函数展开，便冇(12)成集屮参数系统,用等效质量Men「〃=1,2,3・・・其屮这里已知叽f川“JKen=^Mefl加为质点振动系统的

7、实际质量，单位§为圆形琴皮的面积，单位A/?,a为圆形琴皮的周界半径，单位Mb为琴皮的面质量密度，单位kg/M2.72=1时，“=2.405,丿;（2.405）=0.271,Men=0.271m°Hm=-a=-cr——(15)(16)f=12tiXML心0.271m2zr.271加咕(17)于是可得7-?-（13）k2T88T由此叮见，当强迫力频率足够低，即匕<0.5,也就是/<0.5C/（2^z）lbt,膜的平均位移振幅近似与频率无关。这相当于质点振动系统中的弹性控制区。则/二0.5C/（2加）战则是这一区域的上限频率。当d二0.0

8、847m,/=323（Hz）2.3等效集中参数系统法由文献［1］可知，膜振动系统是-•种分布参数系统，研究起来较复杂。我们可将其等效或者说是等效质点振动系统，这样处理起來就简单多