中南财大微积分下.

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中南财经政法大学2005–2006学年第二学期期末考试试卷课程名称：《微积分》（B）卷课程代号：_____________考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业-________________________________________________________________________题号一二三四五总分总分人分值182040166得分______________________________________________________________________________得分评阅人一、填空题：（共9题，每题2分）1．若，则=________2.设，其中连续，，。积分的值与变量________有关。3．正项级数收敛的充要条件是________。4．的收敛域是________。5．已知，则________。6．若，则________。7．若区域由所决定，则________。8．将积分交换积分次序，应为________。9．微分方程的一般解是________。注：题目间的行间距设置为“固定值，20”使用A4纸张，正面打印。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：课堂号：________-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 得分评阅人二、判断正误并说明理由：（共4题，每题5分）1、设函数是上定义的连续函数，且，则。2、若函数在点连续，则函数在点可微分。3、若数列是数列的一个子列，收敛，则也收敛第1页(共页) 4、设，则得分评阅人三、计算题：（每题8分，共40分）1、2、计算-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 3、设具有二阶连续偏导数，求4、计算二重积分，其中是由曲线，直线所围成的平面区域5、求微分方程的解。第2页(共页) 得分评阅人四、应用题：（每题8分，共16分）1、过坐标原点作曲线的切线。该切线与曲线及轴围成平面图形的面积；2、设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，，其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：）。和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：）并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即。如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及价格，使该企业的总利润最大化。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 得分评阅人五、证明题：（6分）若是单调递增数列，则级数当有界时收敛，当无界时发散。第3页(共页) 中南财经政法大学2005–2006学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《微积分》（B）卷课程代号：__09156020_____考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业一．填空题（每题2分）1.2.3.的部分和数列有界4.05.6.7.8.9.二．判断正误并说明理由1．对。（2分）反证法。若不然，存在，使得由在上连续，。因此存在，使得（4分）于是这与假设矛盾。（5分）2．错。（2分）如（4分）在原点连续但不可微分。（5分）3．错。（2分）反例收敛。其偶数项组成的级数发散。（5分）4．错。（2分）令得（4分）所以（5分）三．计算题 1.原式2．原式(3分)(8分)3．（4分）（8分）4．5．将方程变形为（3分）所以四．1．解：设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是(3分）由该切线过原点知，从而(4分) 所以切线方程为（6分）（8分）2．解：总利润函数为（3分）（6分）则（7分）所以（万元）（8分）五．证明：且有界所以收敛且有（3分）考察因为，存在（5分）所以收敛所以收敛。（6分） 中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷课程名称：《微积分（下）》（A）卷课程代号：_09156020_考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级题号一二三四五六七总分总分人分值20164996得分______________________________________________________________________________得分评阅人一、填空题：（共10题，每题2分，共20分）1.2.设，则3.的收敛域是4.5.设级数收敛，且，则6.交换积分次序7.设，则8.注：题目间的行间距设置为“固定值，20”使用A4纸张，正面打印。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：课堂号：________-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 9.在区间上，由与所围成的平面图形的面积是10.微分方程的通解为得分评阅人二、判断正误并说明理由：（共4题，每题4分，共16分）1.若，则.2.若级数与满足（），若发散，则必发散3.广义积分第1页(共3页) 4.设，，则F(x)在(-¥,+¥)内连续，但在x=0点不可导.得分评阅人三、计算题：（共7题，每题7分，共49分）1.求2.求-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 3.计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.4.设函数可微,且,求在点(1,2)处的全微分.5.求的收敛域及和函数.第2页(共3页) 6.求曲线与，所围成的平面图形绕x轴，y轴旋转一周而形成的旋转体的体积.7．求微分方程的通解.得分评阅人四、应用题：（共1题，每题9分，共9分）某单位通过电视和报纸两种方式做广告，现假定销售收入R（万元）与电视广告费U（万元）、报纸广告费V（万元）有关系：，现仅有广告费用为15000元，求最优广告策略？-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 得分评阅人五、证明题：（共1题，每题6分，共6分）设在上连续，证明至少存在一个，使得第3页(共3页) 中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《微积分（下）》（A）卷课程代号：__09156020_____考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级一、填空：1、0；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、二、判断正误并说明理由：1、错（1分）令，（4分）2、错（1分）如（4分）3、错（1分）广义积分（4分）4、正确（1分）当x<0时，；当x>0时，，当x=0时，F(0)=0. 即F(x)=|x|，显然，F(x)在(-¥,+¥)内连续，但在x=0点不可导.（4分）三、解答下列各题：1、原式=（3分）（6分）故原式（7分）2、令，，（1分）原式（3分）（5分）（7分）3、画草图（略）（1分）.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以（4分）（6分）（7分）4、利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.方法一、，（3分） ，（6分）.（7分）方法二、对微分得（3分）（6分）.（7分）5、令（2分）（4分）（6分）（7分）6、（4分）（7分） 7、解:(*)（2分）解得（4分）令并代入(*)得:（6分）原方程的通解为:（7分）五、应用题：拉格朗日函数（3分）（6分）（9分）六、证明题证明：作辅助函数（2分）由于在上连续，所以在上连续，内可导，并有由罗尔定理有，（4分）即所以（6分） 中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷课程名称：《微积分（下）》（B）卷课程代号：09156020_考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业06级题号一二三四五六七总分总分人分值20164996得分______________________________________________________________________________得分评阅人一、填空题：（共10题，每题2分，共20分）1．=2.设，则广义积分3．在区间上,由曲线与直线所围成的图形的面积4．幂级数的收敛域是5．6．已知，则7．无穷级数（收敛，发散）8.微分方程的通解为9．微分方程的通解为________。10．将函数在收敛域内展成的幂级数为________。注：题目间的行间距设置为“固定值，20”使用A4纸张，正面打印。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：课堂号：________-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 9．10．设Ｄ为平面区域，则得分评阅人二、判断正误并说明理由：（共4题，每题4分，共16分）1．.2．若，则.3．若无穷级数与满足，若发散，则也发散.第1页(共3页) 4．.得分评阅人三、计算题：（共7题，每题7分，共49分）1．计算2．-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 3．设具有二阶连续导数，且，求4．平面图形由经过曲线上的点(2,2)的切线，直线及该曲线围成，求其面积..5．求微分方程满足初始条件的特解.第2页(共3页) 6．计算积分7.求的收敛域及和函数。得分评阅人四、应用题：（共1题，每题9分，共9分）经济学中有Cobb-Douglas生产函数模型。其中表示劳动力的数量，表示资本数量，与是常数，由不同企业的具体情况决定，函数值表示生产量。现已知某生产商的Cobb-Douglas生产函数为，其中每个劳动力与每单位资本的成分分别为150元及250元，该生产商的总预算是50000元，问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本，以使生产量最高.-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线--------------------------------------------------------- 得分评阅人五、证明题：（共1题，每题6分，共6分）设在上连续，证明至少存在一个，使得第3页(共页) 中南财经政法大学2006–2007学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准课程名称：《微积分（下）》（B）卷课程代号：__09156020_____考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校财经类各专业2006级一．1.2.3.4.[-1,1)5.6.7.发散8.9.10．二．1．错。（1分）发散（4分）2．错。（1分）令，（4分）3．错。（1分）如发散，收敛。（4分）4．对。（1分）被积函数为奇函数。（4分）三．1．原式（3分）（6分）（7分）2．解=（1分）=（3分） =（5分）=（6分）=.（7分）3．由已知条件可得，（1分），（3分），（4分），（6分）==（7分）4．解:(图形略)（1分）（3分）切线方程为（4分）（7分）5.方程可化为 .（1分）这是一阶非齐次线性方程,其中,.由通解公式得通解.（5分）由,得c=-e.所求特解为（7分）6、(图形略)（2分）（7分）7、,（1分）所以幂级数的收敛半径R=1.（2分）又当x=-1及x=1时幂级数分别成为和,它们都发散,所以幂级数的收敛区间为(-1,1).（4分）设,则当xÎ(-1,1)时.（7分）四．解：要求目标函数在约束条件下的最大值 （3分）（6分）这是目标函数在定义域内的唯一可能极值点，故此时获最大利润。（9分）五．证明：作辅助函数（2分）由于在上连续，所以在上连续，内可导，并有由罗尔定理有，（4分）即所以（6分）