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《概率论与数理统计(复旦大学出版社)第7章习题详解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题七1.设总从二项分布bS,p),A?已知,X),X2,…,&为来自刖勺样本,求参数p的矩法估计.【解】E(X)二矽,E(X)=4二乂因此/7尸〒所以卩的矩估计量2.设总体X的密度函数/(“=荻7),0,00,0,xv0.(2)/(x,“)=&严,0<%<1,0,其他【解】(1)似然函数厶=匸[/(兀,
2、&)=&"匸[7取=&&仏日/=!/=1g=InL=〃ln&—&工兀7=1IIIdg_dIn厶而—d&nnA1所以〃的极人似然估计量为0==.X⑵似然函数厶=0"fl<,,03、平均收益率及标准差的矩估计值.【解】x=-0.094s=0」01893n=9EX=x=-0.094.n兀2由E(X2)=/)(^)+[£(X)
4、2,£(X2)=A2=工丄知a2+[£(X)]2=爲,即有/=i力<7=J—[EMX;-10(X)2]Viu/=1于是->=^><0.10189=0.0966所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为・0.94和0.966.5.随机变量X服从[0,〃]上的均匀分布,今得X的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求0的矩法估计和极人似然估计,它们是否为“的无偏估计.0—【解
5、](1)E(X)=—,令E(X)=X,则0=2X且E(0)=2E(X)=2E(X)=0,所以0的矩估计值为^=2x=2x0.6=1.2且$=2产是一个无偏估计.8(1V(2)似然函数厶=口/(兀,&)=万,归1,2,…,8./=1I&丿显然厶=厶(0)(〃>0),那么e=max{x}时,厶=厶(0)最大,1^/<8所以〃的极大似然佔计值&=0.9.因为E($)=E(max{x,})H0,所以<9=max{x.}不是〃的无偏计.1<81<8”一15.设K,耘,…,乙是取白总体ATI勺样本,E(X)=〃,D〈X)=(“,a3£(/}2)=-£(^)+-£(^2
6、)=//,£仏)=*£(尤)+*£(血)=“,所以几,%,〃3均是〃的无偏估计量./nV(\24<2(2)W.)=T0XJ+了D(X2)=-Xa2=-~yI3丿丿yy=^^(X/+1-XJ2,/=1问k为何值时歹为的无偏估计.【解】令Yt=Xj+l-^,/=1,2/--,77-1,贝I」E(X)=£(X/+1)-£(XZ)=“一“=0,DQ)=2^2,〃一1于是E&2=E[k(^严)]=W-)EY;=2a2⑺-1)仁,=1那么当£(7、1A=-X1+-%2;^=-X^-X2;试证几,仏,念都是“的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.(21、2121【证明】(1)£(A)=^
8、-^+-X2l=-E(XI)+-£(X2)=-Z/+-//=A,25ct2g)=-加)+中))=牛,“丿25.某车间生产的螺钉,其直径X~N(〃,阳),由过去的经验知道a2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm)如下:14.715.014.814.915.115.2试求P的置信概率为0.95的置信区间.【解】»=6,。S06,<7=1-0.95=0.05,x—14.95,ua—Uq25=1・96,,2P的置信度为0
9、.95的置信区间为x土%2=(14.95±0.1x1.96)=(14.754,15.146).6.总体X~N(〃,j),/已知,问需抽取容量〃多大的样本,才能使〃的置信概率为1・°,且置信区间的长度不大于厶?于是置信区间长度为2(7y[n那么由2(7%24/(%尸1}【解】由以已知可知〃的置信度为1虫的置信区间为'元土忍耳子^),7.设某种砖头的抗压强度%~N5八),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg-cm2):64694992559741848899846610098727487844881(1)求〃的置信概率为0.95的置信区间.(2)求八的置信概率为