概率论与数理统计(复旦大学出版社)第7章习题详解

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1、习题七1.设总从二项分布bS,p）,A?已知，X）,X2,…，&为来自刖勺样本，求参数p的矩法估计.【解】E（X）二矽,E（X）=4二乂因此/7尸〒所以卩的矩估计量2.设总体X的密度函数/(“=荻7),0,00,0,xv0.(2)/(x,“)=&严，0<%<1,0,其他【解】（1）似然函数厶=匸［/（兀,

2、&）=&"匸［7取=&&仏日/=!/=1g=InL=〃ln&—&工兀7=1IIIdg_dIn厶而—d&nnA1所以〃的极人似然估计量为0==.X⑵似然函数厶=0"fl<，,0

3、平均收益率及标准差的矩估计值.【解】x=-0.094s=0」01893n=9EX=x=-0.094.n兀2由E(X2)=/)(^)+[£(X)

4、2,£(X2)=A2=工丄知a2+[£(X)]2=爲，即有/=i力<7=J—[EMX；-10(X)2]Viu/=1于是->=^><0.10189=0.0966所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为・0.94和0.966.5.随机变量X服从［0,〃］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求0的矩法估计和极人似然估计，它们是否为“的无偏估计.0—【解

5、］(1)E(X)=—，令E(X)=X,则0=2X且E(0)=2E(X)=2E(X)=0,所以0的矩估计值为^=2x=2x0.6=1.2且$=2产是一个无偏估计.8(1V(2)似然函数厶=口/(兀，&)=万，归1,2,…,8./=1I&丿显然厶=厶(0)(〃>0),那么e=max{x}时，厶=厶(0)最大,1^/<8所以〃的极大似然佔计值&=0.9.因为E($)=E(max{x,})H0,所以<9=max{x.}不是〃的无偏计.1

6、)=//,£仏)=*£(尤)+*£(血)=“，所以几,％，〃3均是〃的无偏估计量./nV(\24<2(2)W.)=T0XJ+了D(X2)=-Xa2=-~yI3丿丿yy=^^(X/+1-XJ2,/=1问k为何值时歹为的无偏估计.【解】令Yt=Xj+l-^,/=1,2/--,77-1,贝I」E(X)=£(X/+1)-£(XZ)=“一“=0,DQ)=2^2,〃一1于是E&2=E[k(^严)]=W-)EY；=2a2⑺-1)仁,=1那么当£(

7、1A=-X1+-%2;^=-X^-X2;试证几,仏，念都是“的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.(21、2121【证明】(1)£(A)=^

8、-^+-X2l=-E(XI)+-£(X2)=-Z/+-//=A,25ct2g）=-加）+中））=牛，“丿25.某车间生产的螺钉，其直径X~N（〃，阳），由过去的经验知道a2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求P的置信概率为0.95的置信区间.【解】»=6,。S06,<7=1-0.95=0.05,x—14.95,ua—Uq25=1・96,,2P的置信度为0

9、.95的置信区间为x土％2=(14.95±0.1x1.96)=(14.754,15.146).6.总体X~N（〃，j）,/已知,问需抽取容量〃多大的样本，才能使〃的置信概率为1・°,且置信区间的长度不大于厶？于是置信区间长度为2(7y[n那么由2(7%24/(%尸1}【解】由以已知可知〃的置信度为1虫的置信区间为'元土忍耳子^），7.设某种砖头的抗压强度%~N5八），今随机抽取20块砖头,测得数据如下（kg-cm2）：64694992559741848899846610098727487844881（1）求〃的置信概率为0.95的置信区间.（2）求八的置信概率为