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1、★二次函数知识点汇总*1・定义：一般地，如果y=+bx+c(d,b,c是常数，g#0),那么y叫做兀的二次函数.2•二次函数y=的性质⑴抛物线y=的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.⑵函数尸姒2的图像与q的符号关系.①当。>0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；②当a<0时o抛物线开口向下o顶点为其最高点3•二次函数y=ax2^hx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，其中.b.4ac-b2n=、k=•2a4a5•
2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：®y=ax1；(2)y=ax~+k；®y=a(x-h)2；@y=a(x-/?)2+k；(§)y=ax24-6a：+c・6•抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①。决定抛物线的开口方向：当a>()时，开口向上；当avO时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.7•顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不
3、同.8•求抛物线的顶点、对称轴的方法⑴公式法：加+*』兀+2[+虫口1,.・・顶点是(_2,如1兰)，对称轴是直线2a}4a2a4abX—•2a(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为尸心-胖+R的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是x=h•(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线y=ax2^rbx+c中，a,b,c的作
4、用(1)G决定开口方向及开口大小，这与y=CIX2中的Q完全一样.(1)b和G共同决定抛物线对称轴的位置•由于抛物线y=ax^bx+c的对称轴是直线x=_±,故:.2a①b=0时，对称轴为y轴；②2>o(即b同号)时，对称轴在y轴左侧；a①2<()(即0、b异号)时，对称轴在y轴右侧⑶c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位j当尤=0时，y=c,・•・抛物线防忌+加+。与y轴有且只有一个交点(0,c)：①c=(),抛物线经过原点；②0(),与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.以
5、上三点中，当结论和条件互换时，仍成立•如抛物线的对称轴在y轴右侧，则2<0・10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax~当a>0时开口向上当QVO时开口向下x=O(y轴)(0,0)°y=ax^+kx=O(y轴)(0,k)y=a(x-ft)2x=h(力,0)y=a(x-h)2+kx=h(h,k)y=ax^+bx+cbx=2a(b严-圧)2a4。11.用待定系数法求二次函数的解析式⑴一般式：y=ax2+/?x+c.已知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一般式.(2
6、)顶点式：y=a(x-hy^k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标X】、x2,通常选用交点式：y=a(x-)(x-x2).12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线=ax2+/zx+c得交点为(0,c)⑵与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(力，ah2+bh+c)・(3)抛物线与兀轴的交点二次函数y=ax2+/2X+C的图像与a•轴的两个交点的横坐标西、x2,是对应一元二次方程川+加+©=°的两个实数根.抛物线与兀轴的交点情况
7、可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点oAaOo抛物线与兀轴相交；②有一个交点(顶点在兀轴上)oA=()o抛物线与x轴相切；③没有交点o△v0o抛物线与兀轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同⑶一样可能有0个交点、1个交点、2个交点•当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,设纵坐标为4则横坐标是ax2+bx^c=k的两个实数根.⑸一次函数y=kx+n(k工())的图像/与二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图像G的交点，由方的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时o/与G有
8、两个交点；②方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；③方程组无解时o/与G没有交点.⑹抛物线与兀轴两交点之间的距离：若抛物线y=dx2+bx+c与兀轴两交点为pcA(X],0),B(x2,0),由于无]、勺是方程or?+加+c=0的两个根，故舛+勺=—，屛・勺=一a4c_J//2-4ac_7ZQ胡胡13.二次函数与一元二次方程的关系:（1）—•元二次方程y=ax2+/zx+c就是二次函数y=ax1+bx+c当函数y的值为0时的情况.（2）二次函数y=ax2-^bx+c
