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1、§1.1集合（-）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set）,也简称集。3.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对彖，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合屮的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合屮不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样4.元
2、素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A,记作A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A,记作A（或aGA）5.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）,记作N；正整数集,记作N减N+；整数集，记作乙有理数集，记作Q；实数集，记作R（二）集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举岀来,写在大括号内。如：｛1,2,3,4,5）,｛X2,3x+2,5y3-x,x2+y2｝,…;说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法：把集合屮的元素的公共属性描述
3、出来，写在大括号□内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:｛xlx-3>2｝,｛（x,y）ly=x2+l｝,｛直角三角形｝,…；强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素｛（x,y）ly=x2+3x+2｝与｛yly=x2+3x+2｝不同，只要不引起误解,集合的代表元素也可省略，例如：｛整数｝,即代表整数集乙辨析：这里的｛｝已包含“所有”的意思，所以不必写｛全体整数｝。下列写法｛实数集｝,｛R｝也是错误的。§1.2集合间的基本关系（-）集合与集合Z间的“包含”关系
4、；A=｛1,2,3｝,B=｛1,2,3,4｝集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集（subset）o记作：ACi?（或BnA）读作：A包含于（iscontainedin）B,或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作A@B用Venn图表示两个集合间的“包含”关系（二）集合与集合之间的“相等”AcB（或BoA）关系；a=b^a~b[BqaAqB且BuA,则A=B^的元索是一样的，因此A=Bf即结论：任何一个集合是它木身的了集（三
5、）真子集的概念若集合AcB,存在元素且xEA,则称集合A是集合B的真子集（propersubset）<>记作：A呈B（或B呈A）读作：A真包含于B（或B真包含A）（四）空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（emptyset）,记作：0,规定：空集是任何集合的了集，是任何II：空集合的真了集（五）结论：①A©AcB,且BuC,则AcC§1.3集合的基本运算1.并集一般地，由所冇属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AUB读作：“A并B”，即：AUB二{xlxWA,或x^B}Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果
6、还是一个集合，是由集合A与B的所何元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。2.交集一般地，由属于集合AJ1属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）o记作：AAB；读作：“A交B”；即：AAB={xieA,且x^B}。交集的Venn图表示：3.补集全集：一般地，如果一个集合含冇我们所研究问题屮所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe）,通常记作Uo补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补
7、集,记作：CVA；B
8、J：CuA二{xlx^U且xEA}补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制4.求集合的并、交、补是集合间的基木运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼岀发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。1.集合基木运算的一些结论：AABCA,AABcB,AAA=A,AH0=0,AAB=BAAACAUB,BCAUB,AUA=A,AU0二A,AUB二BUA,(QjA)UA=U,(CuA)AA=0若AQB=A,则AcB,
9、反之也成立；若AUB=B,则AcB,反之也成立若xW
