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《最优化问题第四章例题101124》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例4.1检验向量p=H,U,1]f是否是下面约束在无=[0丄2,3]7处的容许方向向量.—2兀]—3*2+x3+2x4>5,—Xj—3%2—呂+-^4—_右4x2+x3-2x4<1.aX]+3x2+x3-x4>2,—4%2—“+2*4n—1•解在x=[0,l,2,3]r处，/={1,2}.有C=(21-34),"=「2_312U31-1J检验：C"=(21-34)1-3311◎所以p二[-1,1,1,1r是该约束在X=[0,1,2,3]r处的容许方向向量.口例4.2考虑约束问题min(Xj一4)2+(x2一5)2;兀2s.t.
2、4—-——0,4厶8-—2兀？n0,£>0,x2>0.验证x=[2,3f是否为K-T点.口解x=[2,3f是容许点，/={1,2}.在无=[2,3『处，计算W(x)=[-4,-4]r,V5,(x)=[-!,-l]r,V52(x)=[-1,-2]r.易见V5,(%)=[-!,-l]r,V52(x)=[-L-2]r线性无关，令2V/(x)-^AV5,.(x)=0,f=l由于有不全为零的非负解：“=4,“2=0使上式成立，故x=[2,3f是K-T点.口例4.3已知约束问题min(兀]-2尸+(x2-I)2s.t.x,+x2-5>0X
3、i>0X、>0X]+兀2_—5兀°=0试验证x=[4,lf为K-T点.口解在点x=[4,l]7处，/={!},V/(x)=,0（壬）=；,V/7（X）=1-3且％]（壬）=:,V/7(X)-3线性无关.令=0,得久=1,“=3〉0,故x=[4,lf是K—T点例4.4用Lagrange乘子法求解约束问题min（兀[一2尸+（x2-I）2;s.t,X]+=5.<->兀]+花一5=0解Lagrange函数厶（X],,2）=（X]—2）2+（%2—1）~+2（西+X。—5）令▽厶（兀1，兀2，久）=0，即2（x1-2）+A=0,①<{
4、2（旺一1）+几=0,②兀］+兀?-5=0.③4-2?-2由①、②得西二——,%.=——,代入③得2=8.于是得驻点［-2,-3］丁2~2（2、在［-2,-3］t处，V；Z（£,兀2，刃=正定，所以［-2.-3］1是最优解.2j例4.5写出下面问题的K-T条件,并利用K-T条件求问题的最优解.9—x；+>0⑶min（兀］一2）2+（七一1尸;min（%j-2）2+（x2-l）2;s,t.xj2+xf<1.㈠s.t.x；+x[>10.o解（1）K-T条件为'2（壬-2）、厂2叮、2（西一1）丿、2兀2丿'“（1一耳+兀；）=0,
5、“no.若“=0,代入①得斗二2,兀2二1，但［2,1］ZD,故不是最优解.2i若“HO,由①得西二——，禺二——.将其代入②得（1+“）2=5,结合③得1+〃1+““=V5-1,得K-T点因为这是凸规划问题，所以2>/5VT9/是问题的最优解.55（2）K-T条件为『2（兀一2）、<2%d(°)e一U=,①(2(兀［-1)丿,2兀2丿丿■“(9-彳+%2)=二0,②“>0.③若“=0,代入①得^=2,^=1,［2,1］TeD,是K-T点.因为这是凸规划问题,所以［2,1］丁是问题的最优解.（3）K-T条件为*-2)、了2旺、
6、◎2（西一1）丿a%丿<“(10-彳+xf)=0,//>0.若“=0,代入①得西=2,兀2=1，但［2J］t^D,故不是最优解.211若“H0,由①得西=——,X2=——•将其代入②得（1+“）2=—,结合③得1+“〜1+“2//————―^-—1,得K-T点
7、^2>/2,>/2J和—2>/2,—V2J〔20"丁、［-2伍-血丁都是局部极小点,①②③④⑤£—兀2——2,无
8、no,X]>0.例4.6证约束问题min/(x);si.x>0.的K-T最优性条件的表达式是Vf(x)Tx=0,其中疋是最优解.证疋满足的K-T条件为叽)
9、-£曲=0,1=1<炉:=0,心1,…,弘比>0,i=1,•••/•由①并结合③得v/(r)=/z>o.由②得£“丿；=0,即firx=0,代入④得1=1Vf(x)Tx=Q.得证.例4.7试用Z-容许方向法求解min-ln(l+旺)一2ln(l+x2);s.t.x,+x2<2,。xvx2>0.初始点取为xo=[O,O]r.解计算v/^)=£+1，x2+1A)=「10__0__01__0_V/(x0)=[-l,-2]在xo=[O,O]r处，/={2,3}.有A)=[_1_1]，方o=-2.求解min-p,_2/?2；s.t.P
10、[>0,%no,-i
