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《导数在中学数学中的应用(朱耀洲)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数在中学数学中的应用数信组朱耀洲摘要：微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的分支学科.导数是微积分中一个非常重要的概念，它建立在极限的基础上.中学数学中没有建立完整的极限理论，因此在中学阶段不宜过多的涉及对于导数的理论探讨和严格的逻辑证明，在应用导数处理问题是也要准确的把握好度.本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨.阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径.同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用.关键词：导数函
2、数数列方程切线导数进入屮学数学教材，给传统的屮学数学内容注入了新的生机与活力，它有利于沟通初等数学和高等数学Z间的联系，同时导数及其在数学中的综合作用，也成为高考命题的热点.所以，在数学学习屮应具备运用导数知识解决数学问题的意识，故在屮学数学中，有许多以高等数学为背景的问题，若用中学数学的方法去解往往繁杂、冗长•而应用导数处理问题不需要很高的思维能力，突出了通法，淡化了技巧•下而分类例析导数在中学数学中的具体应用.1•导数在函数问题中的应用导数反映了函数的变化率，因此利用导数分析函数的性态是一种重要手段.我们可以利用导数对函数的单调性、求
3、解函数的最值等方面提供一种快捷的方法.1.1求函数中参数的值导数反映了函数的变化率，因此可以应用导数去解决函数中参数的求值问题，使一些问题简化.例1若/(x)=ax3+bx2+cx+d(QH0)满足条件/(0)=f(x{)=f(x2)=0,(0<壬V兀2)且在［毛,+切上/(兀)单调递增，求实数b的取值范围.解因为/(0)=0,所以d=0又因为f(x)=ax(x-x})(x-x2)=ax3-a{x}+x2)+axlx2x所以b=-a(x}+兀2)fx)=3ax2一2a(xl+x2)x+ax{x2因为/(X)在卜2，+°°)上单调递增,所
4、以/'(%2)>0,即3ax；-2a(%!+x2)x+axxx2>0,所以ax2(x2-Xj)>0因为aH0,兀2>兀1>0,兀2-兀1〉0,所以a>0,乂因为x,+x2>0,所以b=-6Z(Xj+X2)<0,故实数b的取值范围是(-00,0).1.2判断函数的单调性函数的单调性是函数的最皋木性质之一，是研究函数所要掌握的最基木的知识•用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而月•快捷•利用导数研究函数的单调性，主耍是根据以下结论：“设函数y=/(%)在某个区间内可导，若/V)>0,则/
5、(x)在此区间内为增函数;若fx)<0,则于(对在此区间内为减函数”•其一般步骤为:(1)求出导函数fx)；(2)令广⑴>0,求出其解集,即为/(兀)的单调递增区间;令广(x)<0,求岀其解集,即/(兀)的单调递减区间.例2设函数fM=ax3+x恰好有三个单调区间，试确定g的取值范围，并求出其单调区间.解因为/(兀)=ax3+x恰好有三个单调区间，所以广(x)=0即3o?+1=0有两个不相等的实数根,所以Q<0所以门力的三个单调区间为(且于(兀)在(-00,-J--)和(」--,+00)为减函数,在(-3a3d为增函数.1.3研究方程
6、的根在初等数学中，可以用导数判断方程实数根的情况，求某些超越式的值以及应用于物理当中.例3若加>3,则方程x3-/nx2+l=0在［0,2］±有多少根?解设f(x)=x3-mx2+1,则广(X)=2x2一2mx当m>3且必(0,2)时，广⑴<0,故/⑴在(0,2)上单调递减，而/⑴在x=0与x=2处都连续，且/(0)=1>0,f⑺=9-4m<0故/(x)在［0,2］上只有一个根.例4证明方程2x=sinx只有一个根兀=0.证明设/(x)=2x-sinx,xg(一oo,+co),因为fr(x)=2-cosx>0所以/⑴在(-oo,+oo)一
7、上是单调增函数而当兀=0时，f(x)=0,所以方程2x=sinx有唯一的根x=0.1.4求函数的最值最值问题是中学数学的重点、难点，它涉及到中学数学知识的各个方面，处理次类问题往往需要较高的思维能力和技能，而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化.例5求函数/⑴=2/-3/_12x+13的极大值、极小值.解由函数/(x)=2x3-3/-12x+13求导可得/V)=6(x2-x-2)令广(兀)=0,解得兀］=一1,x2=2则广(x)在厂(兀)=0的根的左右符号及函数的增减性如下表X(-00,-1)(-1,2)(2,+oo)/V)+—+
8、7/所以当/(%)在1时有极大值为/(-I)=20,在"2是有极小值为/(2)=9.2.导数在不等式证明问题中的应用常用的不等式的证明方法有换元法、分析法、综合法、归纳法等皋本方法,但对于某
