教案--函数值域的求题方法

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1、例析求函数值域的方法01•方法总结函数的值域是函数三要素Z—,求函数的值域是深入学习两数的基础，它常涉及多种知识的综合应用,下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。△一直接法：（利用常见函数的值域来求）一次函数y二ax+b（aH0）的定义域为R,值域为R；反比例函数y=—｛k工0）的定义域为｛x

2、x^O｝,值域为｛yly^O｝；x二次函数/（a）=ax24-bx+c（a工0）的定义域为R,当a>()时，值域为{yy>(4ac~b2)};当av()时，值域为⑷―")}.4a4a例1・1・求下列函数的值域①y=3x+2(・15xWl)③y=x+—(记住图像)x解：①V-l

3、0,.y=x+丄=(仮——)24-2>2,・・・值域是（―g,—2]U[2,+8）.（此法也称为配方法）函数『=兀+丄的图像为X例1-2求下列函数的最大值、最小值与值域：®y=x2-4x+l;②；y=x2-4x+l,xe[3,4]®y=x2-4x+l,xe[0J]；®y=x2-4x+15xg[0,5]；解:Vy=x2_4x+l=(x-2)2-3,A顶点为(2厂3),顶点横坐标为2.①•・•抛物线的开

4、口向上，函数的定义域R,・・.x=2时，ymin=-3,无最大值;函数的值域是｛y

5、y>-3｝.23456°x11-2-101-1②•・•顶点横坐标2引3,4］,当x=3时,y=-2；x=4时,y=l；・••在［3,4］上，儿in二2,ymax=l;值域为卜2,1］.③丁顶点横坐标2住［0,1］,当x=()时，y=l；x=l时，y=-2,・••在［0,1］上，儿in二2,ymax=i；值域为［-2,1］.④：•顶点横坐标2w［0,5］,当x=0时,y=l；x=2时,y=-3,x=5时,y=6,・••在［0,1］上,ymin=-3,ymax=6；值域为［・3,6］.注

6、：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a^0),⑴若定义域为R时,①当a>0时，则当兀=_上_时,2a其最小值$.Jmin(4ac-b2).4^②当昨时，则当“岭时，其最大值y十呼!•⑵若定义域为xg[a,b],则应首先判定其顶点横绝标x0是否属于区间[a,b].①若x0g[a,b],则/(Xo)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较/(a),/(b)的人小决定函数的最人(小)值.②若兀。£[%b],则[a,b]是在/(力的单调区间内，只需比较f(af(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；②

7、当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.△二、配方法(是求二次函数值域的基本方法，UF(x)=af(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法)例2.求函数y=-x2+4x+2(^g[-1,1J)的值域。解:y——x~+4x+2=—(兀—2)~+6,因为xg[-1,1],所以x-2g[-3,-1],所以1S(x—2)2s9所以一3<-(x-2)2+6<5,即一3

8、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题i般也nJ以利用反函数法）]—X例3-1.求函数）—的值域。2x4-5--（2x+5）+-1-解：因为『=亠-==_丄+二_,2x+52x+522兀+57所以悬H。，所以卅弓所以函数）,=1~X2兀+5的值域为｛yIy^-—]o2r—1例3・2求函数"后的值域解法一：（逆求法）解出兀，尤=上空观察得原函数值域为{yy1}1一y解法二（分离常数法）由）「十=]_—H1,可得值域{yy1}XrI2Xf+2小结：己知分式函数y二竺卫（chO）,如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内,cx+d值域为如果是条件定义域

9、（对白变量有附加条件），采川部分分式法将原函数Cfadb化为y=-4-——今（ad工be）,用复合函数法來求值域。ccx+d△四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如y=cix+b±4cxVd（a>b、c、d均为常数，且ghO）的函数常用此法求解。例4-1.求函数y=2x+a/1-2x的值域。解：令t=yjl-2x（r>0）,则x=,2.195所以y=-r+Z4-1=-（/--）■+-所以函数y=2xZ—2x的值域为(-00,-1。4例4・2求函数y=9A-3v+2(xg[0,1])的值域解：(换元法)