资源描述：
《函数对称性、周期性全解析康惠如》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、掐敎对蘇帕、奇偶牲，周期枯全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、ea/RJ期性:对于函数y=/(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有/(x+n=/(x)都成立，那么就把函数y=/(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略)，请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式f(-x)=/(x)奇函数
2、关于(0,0)对称，奇函数有关系式/(x)+f-x)=0上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y=/(兀)关于x=a对称of(a4-x)=fa-x)f(a+兀)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a一兀)或f(-x)=f(2a+x)简证：设点(nyj在y=/(兀)上，通过/(兀)=f(2a-x)可知，=/(Xj)=f(2a-,即点(2a-xl9yJ也在y=f(x)±,而点(“必)与点(2a-xl9yJ关于x二a对称。得证。若写成：弘+m),函数尸/(X)关于直线x=心丁7=字对称(2)函数y=f(x)关于点(d,b)对称u>f(a
3、+x)+f(a-x)=2b上述关系也可以写成/*(2a+x)+/(-x)=2b或/(2«-%)+/(%)=2b简证：设点(兀i，yj在y=/(x)上，即yx=f(x{),通i±f(2a-x)+/(x)=2b可知，f(2a-Xj)+f(x})=2/?,所以f(2a-xl)=2b-f(x})=2b-,所以点(2a-X],2b一y
4、)也在y=f(x)上，而点(2a-xx,2b-yJ与(x{,yx)关于(d,b)对称。得证。若写成：他+»/•(—函数严畑关于点(字自对称(3)函数y=/(x)关于点y=b对称:假设函数关于y=b对称，即关于任一个兀值，都有两个y值与
5、其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y二”对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于y二b对称，比如圆c(x,y)=x2+y2一4=0它会关于y=0对称。4、周期性:1/(X)(1)函数y=/(X)满足如下关系，则/(兀)的周期为2TA、/(x+?)=-/(%)C、几兀+工)=/⑴或f(兀+H)二I一/(X)(等式右边加负号亦成立)21-/(%)721+/(兀)D、其他情形(2)函数y=f(x)满足fa+x)=fa-x)且/@+x)=/(b—x),则可推出f(x)=f(2a—x)=f[h+(2a-x-b)]=f[h-(2a-x-
6、h)]=f[x+2(b-a)]即可以得到y=/(x)的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足/U4-?)=-/(%)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为x=-+2kT伙gz),根据f(x)=f(x+2T)可以找出其对称中心为2伙人0)伙wz)(以上T^O)如果偶函数满足/(x+?)=-/(%)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为(£+2好,0)(kez),根据f(x)=f(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kez)(以上ThO)(4)如果奇函数『=/(兀
7、)满足f(T+x)=f(T-x)(7V0),则函数y=f(x)是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数＞=/(力满足/a+x)=f(T-x)(ThO),则函数y=fM是以2T为周期的周期性函数。二、两个函数的图象对称性1、y=fM与y=—/(无)关于x轴对称。换种说法：y=/(%)与y=g(x)若满足/(X)=-g(x)，即它们关于y=0对称。2、=fM与丿=/(-力关于丫轴对称。换种说法：y=f(x)与y=g(兀)若满足f(x)=g(-x),即它们关于兀=0对称。3、=fM与)y/(2o-x)关于直线x=a对称。换种说法：y=fx)与)pg")若满足/(
8、x)=g(2a-x),即它们关于x=d对称。4、y=/(兀)与y=2a-/(x)关于直线y=a对称。换种说法：y=/(x)与y二g(x)若满足/(x)+g(Q=2°,即它们关于y=。对称。5、y=/(x)与y=2/?-f(2a-x)关于点(a,b)对称。换种说法：y=/(x)与y=g(x)若满足/(兀)+g(2a-兀)=2b,即它们关于点(a,b)对称。y=f{a-x)与y=(x-/?)关于直线x=弓纟对称。三、抽象函数的对称性。性质1、若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价：(1)f(a+x)=f(a—x)o(2)f(2a-x)=f
9、(x)o(3)f(2a+x)=f(-x)o性质2、若函数y=f(x
