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《线性代数同济大学第四版习题答案06》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章 线性空间与线性变换1.验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.(1)2阶矩阵的全体S1;解设A,B分别为二阶矩阵,则A,BÎS1.因为(A+B)ÎS1,kAÎS1,所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.,,,是S1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2;解设,,A,BÎS2.因为,,所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.,,是S2的一个基.(3)2阶对称矩阵的全体S3.解设A,BÎS3,则AT=A,BT=B.因为(A+B)T
2、=AT+BT=A+B,(A+B)ÎS3,(kA)T=kAT=kA,kAÎS3,所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.,,是S3的一个基.2.验证:与向量(0,0,1)T不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解设V={与向量(0,0,1)T不平行的全体三维向量},设r1=(1,1,0)T,r2=(-1,0,1)T,则r1,r2ÎV,但r1+r2=(0,0,1)TÏV,即V不是线性空间.3.设U是线性空间V的一个子空间,试证:若U与V的维数相等,则U=V.证明 设e1,e2,××
3、×,en为U的一组基,它可扩充为整个空间V的一个基,由于dim(U)=dim(V),从而e1,e2,×××,en也为V的一个基,则:对于xÎV可以表示为x=k1e1+k2e2+×××+krer.显然,xÎU,故VÍU,而由已知知UÍV,有U=V.4.设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间,a1,a2,×××,ar是Vr的一个基.试证:Vn中存在元素ar+1,×××,an,使a1,a2,×××,ar,ar+1,×××,an成为Vn的一个基.证明设r4、××,ar线性表示,将ar+1添加进来,则a1,a2,×××,ar+1是线性无关的.若r+1=n,则命题得证,否则存在ar+2ÏL(a1,a2,×××,ar+1),则a1,a2,×××,ar+2线性无关,依此类推,可找到n个线性无关的向量a1,a2,×××,an,它们是Vn的一个基.5.在R3中求向量a=(3,7,1)T在基a1=(1,3,5)T,a2=(6,3,2)T,a3=(3,1,0)T下的坐标.解设e1,e2,e3是R3的自然基,则(a1,a2,a3)=(e1,e2,e3)A,(e1,e2,e3)=(
5、a1,a2,a3)A-1,其中,.因为,所以向量a在基a1,a2,a3下的坐标为(33,-82,154)T.6.在R3取两个基a1=(1,2,1)T,a2=(2,3,3)T,a3=(3,7,1)T;b1=(3,1,4)T,b2=(5,2,1)T,b3=(1,1,-6)T.试求坐标变换公式.解设e1,e2,e3是R3的自然基,则(b1,b2,b1)=(e1,e2,e3)B,(e1,e2,e3)=(b1,b2,b1)B-1,(a1,a2,a1)=(e1,e2,e3)A=(b1,b2,b1)B-1A,其中,.设任意
6、向量a在基a1,a2,a3下的坐标为(x1,x2,x3)T,则,故a在基b1,b2,b3下的坐标为.7.在R4中取两个基e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T;a1=(2,1,-1,1)T,a2=(0,3,1,0)T,a3=(5,3,2,1)T,a3=(6,6,1,3)T.(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;解由题意知,从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为.(2)求向量(x1,x2,x3,x4)T在后一个基下的坐标;解因为,向量a在后
7、一个基下的坐标为.(3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令,解方程组得(k为常数).8.说明xOy平面上变换的几何意义,其中(1);解因为,所以在此变换下T(a)与a关于y轴对称.(2);解因为,所以在此变换下T(a)是a在y轴上的投影.(3);解因为,所以在此变换下T(a)与a关于直线y=x对称.(4).解因为,所以在此变换下T(a)是将a顺时针旋转.9.n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间.给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换T(A)=PTAP称为合同变换.试证合同变换T是V中
8、的线性变换.证明设A,BÎV,则AT=A,BT=B.T(A+B)=PT(A+B)P=PT(A+B)TP=[(A+B)P]TP=(AP+BP)TP=(PTA+PTB)P=PTAP+PTBP=T(A)+T(B),T(kA)=PT(kA)P=kPTAP=kT(A),从而,合同变换T是V中的线性变换.10.函数集合V3={a=(a2x2+a1x+a0)ex
9、a2,a1,a0ÎR}对于函数的线性运算构成3维线
