网易视频云技术分享：ReedSolomon纠删码

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2、卜「：给定n个数据块d1,d2,...,dn,n和一个正整数m,RS根据n个数据块生成m个校验块，c1,cnrio对于任意的n和m,从n个原始数据块和m个校验块中任取n块就能解码出原始数据，即RS最多容忍m个数据块或者校验块同时丢失（纠删码貝能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此）。编码原理RS编码以word为编码和解码单位，大的数据块拆分到字长为w的word（字长w取值一般为8或者16位），然后对word进行编解码。所以数据块的编码原理与word编码原理没什么差别，为论述方便，后文中变量Di,Ci将代表一个wordo首先，把输入数据视为向量D=（D1

3、,D2,Dn）,编码后数据视为向量（D1,D2,...,Dn,C1,C2,..,Cm）,RS编码可视为如图1所示矩阵运算。下图最左边是编码矩阵，矩阵上部是单位阵（n行n列），下边是Vandermonde矩阵B（m行n列），vandermode炬阵如图2所示，第i行，第j列的氐数值为j^（i-1）oZ所以采用Vandermonde矩阵的原因是，RS数据恢复算法要求编码矩阵任意n*n子矩阵可逆。♦图1：RS纠删码编码运算数据恢复原理RS最多能容忍m个删除错谋。数据恢复原理的过程如下：（1）从编码矩阵屮删去丢失数据块和丢失编码块对应行。假设D1、C2丢失，根据图1所示RS

4、编码运算等式，我们得到如FB'以及等式。T[DI00000DI000000DB”BnB”B刖B理B対B,Bjs♦'S—T—T—T—1016一巧瓦-9『一zivllrv=s图2：vandermode矩阵（2）由于B，是可逆的，两边乘上B'逆矩阵。oR"Survivors（3）得到如下原始数据D的计算公式（4）对D重新编码，得到丢失的校验码矩阵求逆采川高斯消元法，需要进行实数加减乘除四则运算，无法作川丁-字长为w的二进制数据。为了解决这个问题，RS采用伽罗华群GF（2八w）中定义的四则运算法则。GF（2^w）域有"w个值，毎个值都对应一个低于w次的多项式，这样域上的四则

5、运算就转换为多项式空间的运算［2］。GF（2八w）域中的加法就是XOR,乘法比较特殊,需要维护两个大小为2^w-1的表格：log表gflog,反log表gfilog。乘法公式：a*b=gfilog(gflog(a)+fglog(b))%(2八w-1)CRS(CauchyReedSolomon)RS纠删码的计算代价较高，瓶颈在于乘除法,乘除法操作需要3次查衣操作，一•次加(减)法操作，—次条件判断，一次取模操作(可优化为一次条件判断和一次减法操作)。CRS从两个方而优化RS性能(1)使用Cauchy编码矩阵，Cauchy编码矩阵的好处是求逆矩阵比较快(2)将GF(2^

6、w)+的运算全部转换为XOR,其中的数学原理比较复杂，可参见文献[3]小结RS的特点：(1)低冗余度，高可靠性。(2)数据恢复代价禹。丢失数据块或者编码块时，RS需耍读取n个数据块和校验块才能恢复数据，数据恢复效率也在一定程度上制约了RS的可靠性。(3)数据更新代价高。数据更新和当•丁•重新编码，代价很高，因此常常针对只读数据，或者冷数据。(4)RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表，通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力，具体实现上可能耍做一些优化。参考文献：[1]JamesS.Plank.ErasureCodesForStorag

7、eApplication.[2]JamesS.Plank.ATutorialonReed-SolomonCodingforFault-ToleraneeinRAID-likeSystems[3]JamesS.Plank.OptimizingCauchyReed-SolomonCodesforFault-TolerantStorageApplications