研究生数理统计习题二三章答案

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1、习题二1.设总体的分布密度为(q+1)=<00,两边取对数得到In厶(a)=〃ln(a

2、+l)+a工i=i两边对a求导得到"厶仗)=_+£g兀,da(2+17^1令〃In厶(")=0得至0a,=_da1+^-£111乙i=l当测得X1?X2,---X6的观测值为0.1,0.2,0.9,0.&0.7,0.7时,得到a的佔计值为分罟4079,1+亠工hu：/=1=0,2112.2.设总体X服从区间（0,&）上的均匀分布，即XU[0,&],X

3、,X2，・・・X”为其样本,1）求参数&的矩估计量q和最大似然估计虽：0；2）现测得一组样本观测值：1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1丄试分别用矩法和最大死染发求

4、总体均值、总体方差的估计值.nInn解1）因为总体X的数学期望为EX=—,22e——所以一得到久=2X。2因为总体XU[0,0],所以该总体的密度函数为则该总体决定的似然函数为0,OS"其他，乙（〃）=厶（〃；西,兀2，・・・£）=lV（x/）/=!1o,0<<0,(i=1,2,・・・m)其他，因为似然方程号器L一侖=°,显然似然方程关于。无解.这时利用似然估计的定义，当0W兀50（7=1,2,…町时，冇05兀⑴5%）W…5%）50则厶（&）=厶（&；西入，•••£）=+<{-，显然当&2=X（〃）时，可使似然函数取最

5、大值，因&X（n）此0的最大似然估计02=兔卄臨®2）当测得一组样本观测值:1.3,0.6,1.7,2.2,03,1.1,时,用矩法得：EX=久=—2,2用最大似然法得：EX二乞=1.122DX=生=0.48；122DX==0.4033o123.设X],X2，・「X“是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与最大似然估计量。已知总体X的分布密度为解矩估计法:恥二Q°q〉o未知;0,x<0,因为总体X的数学期望为EX=[xf（x;A）dx=£xXe~Axdx=得到人=*・1所以一=X,A最人似然估计法：因为总体

6、X的分布密度为几严，兀〉0,°..'2>0未知;0,x<0,则该总体决定的似然隊I数为厶（2）=厶（2；西，兀2,…£）="/（兀;2）=i=l才匕已，召〉0,免〉0未知I.0,兀<0,当兀〉0（心1,2,…町时，由2〉0知厶（A）>0,两边取对数得nln£（A）=nInA-xf,/=1两边对2求导得響1今dIn厶（几）、d九=0,得到易==X2X2）/（%；/）=—^,其中兀=0,1,2,・・・，2>0未知;x解矩佔计法：因为总体X的数学期望为-HJOXEX=£x—-e~A—2,所以2=X,得到人二X.最大似然估计

7、法：因为总体X的分布密度为于（兀；久）=—e"‘兀=0,1,2,•••,/!〉0x则该总体决定的似然函数为nfl兀！f=iL(A)=L(Z;xl,x2,-xz,)=n/(x,；/l)=-当兀=0丄2,…时，由2>0知厶(2)>0,两边取对数得In厶(2)=In2》兀-nA-Inxi!,i=i=两边心导得彎⑷孚“令"In厶(几)=o,得到易=尢.d九3)f(x;a9b)=

8、似然估计法：因为该总体X的密度函数为f(x;a,h)=

9、D九）5））显然当E=X（「b2=x（z/）时，可使似然函数取故大值，因此d上的最大似然估计为,a.=X“=minX「b=X（、=maxX../⑴】口切“2⑷1如"加，殊知；0,其他解矩估计法：因为总体X的数学期望为:J+0O,EX=£xf（^x;0）dx=Tx-0x~2dx=0x所以总体X的矩估计量不存在。最大似然估计法：